Questão de Derivação implícita

Equação: x² + xy + y² = 3

1) Vamos derivar x em função de y: (dx / dy)

    (x²)' = 2x * (dx / dy)

    Para derivar xy vamos aplicar a Derivada do Produto:

    [f(x) * g(x)]′ = f′(x) * g(x) + f(x) * g′(x)

    (xy)' = (dx / dy) * y + x * 1

    (y²)' = 2y

    (3)' = 0

2) Montando e Resolvendo a equação, temos: 

    2x * (dx / dy) + y * (dx / dy) + x + 2y = 0

    Vamos cololar o (dx / dy) em evidência:

    (dx / dy) * (2x + y) = -x - 2y

    Isolando (dx / dy), temos a derivada da equação:

    (dx / dy) = (-x - 2y) / (2x + y)

3) No P(1, 1), x = 1 e y = 1. Vamos substituir os valores de x e y da Derivada pelos valores x e y do Ponto: 

    (dx / dy) = (-1 - 2*1) / (2*1 + 1)

    (dx / dy) = -1 => Coeficiente angular da Reta Tangente no P(1,1)

4) Vamos aplicar a equação fundamental da reta: y - y•  = m (x - x• ), onde

     y• = 1, x• = 1 e m = -1 (m é o coeficiente angular), temos:

    y - 1 = -1 (x - 1)

   Resolvendo a distributiva e isolando y, temos:

    y = -x + 2 => Equação da Reta Tangente que passa pelo P(1,1).

Derivando implicitamente:

2x + y +xy'(x) + 2yy'(x) = 0

y'(x)= -(2x+y)/(x+2y)

No ponto P=(1,1):

y'(x)= -1

Montando a equação da reta tangente:

y-y• = y'(x) (x-x•)

onde x• e y• são as coordenadas do ponto inicial, ou seja, o ponto P(1,1).

y-1= -1(x-1)

y= 2-x  <-------- resposta

Derivando implicitamente:

x^2+xy+y^2=3

2x+(dy/dx)+2y(dy/dx)=0

(2y+1)dy/dx= -2x

dy/dx= -2x/(2y+1)

Substituem-se os pontos; logo, m (coeficiente angular):

m= -2*1/(2*1+1)

m= -2/3

Montando a eq. da reta tangente:

y-yo=m(x-xo)

y-1= -2/3(x-1)

y= (-2/3)x + 2/3 + 1

y= (-2/3)x + 5/3