Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Vetorial

desenha no plano cartesiano,q fica mais facil para entender

Dica: Faça um desenho de um triangulo qualquer marque os pontos medios e forme um triangulo com estes pontos, é fácil ver que este triangulo menor é semelhante ao triangulo maior, e a razão entre os lados é 1/2, portanto a area do triangulo menor é 1/4 da area do triangulo maior.

Calcularemos a area do triangulo menor utilizando o produto vetorial entre 2 vetores diretores do lados, assim:

 MN (3, -3, -1) e MP (1,-1,-1)

Calculando o determinante entre eles teremos:

\(\left| \begin{array}{cc} i & j & k\\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{array} \right| = 2i + 2j\) 

A area do triangulo é metade do modulo do vetor assim, \(A = \frac{1}{2}\sqrt{2^2 + 2^2}\), logo \(A=\sqrt2\)

Como a area do triangulo maior é 4 vezes a area do triangulo menor, \(A_{ABC}=4\sqrt2\)