4. Mostre que em todo triangulo ABC

Primeiramente devemos lembrar as seguintes igualdades:

(I) sen(x) + sen(y) = 2sen[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]

(II) cos(x) + cos(y) = 2cos[(x+y)/2].cos[(x-y)/2]

(III) sen(180º - x) = sen(x)

(IV) cos(90º - x) = sen(x) 

(V) sen(2x) = 2sen(x).cos(x)

Feito isso vamos a questão:

Dado um Triângulo ABC, tomemos seus ângulos internos por a,b,c. 

Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180º.(Gemetria Euclidiana)

Prove que: sen(2a) + sen(2b) + sen(2c) = 4.sen(a).sen(b).sen(c), façamos então 4.sen(a).sen(b).sen(c) = k para facilitar a escrita

sen(2a) + 2.sen[(2b+2c)/2].cos[(2b - 2c)/2] = k , igualdade (I)

sen(2a) + 2.sen(b+c).cos(b-c) = k

*) Soma dos ângulos internos de um triângulo = 180º --> a+b+c = 180º --> b+c = 180º - a , a+b = 180-c , a+c = 180-b

sen(2a) + 2.sen(180º - a).cos(b-c) = k

sen(2a) + 2.sen(a).cos(b-c) = k , igualdade (III)

2.sen(a).cos(a) + 2sen(a).cos(b-c) = k , igualdade (V)

2.sen(a).[cos(a) + cos(b-c)] = k

2.sen(a).{2.cos[(a+(b-c))/2].cos[(a - (b-c))/2]} = k , igualdade (II)

4.sen(a).{cos[((a+b)-c)/2].cos[((a+c)-b)/2]} = k

4.sen(a).{cos[(180º-c-c)/2].cos[(180º-b-b)/2} = k

4.sen(a).cos[(90º - c)].cos[(90º - b)] = k

4.sen(a).sen(c).sen(b) = k , igualdade (IV)

4.sen(a).sen(b).sen(c) = k , como definimos k como sendo 4.sen(a).sen(b).sen(c) está provada a proposição.

sen(2a) + sen(2b) + sen(2c) = 4.sen(a).sen(b).sen(c) --> q.e.d