A partir da EDO, a solução é:

\(\Longrightarrow dx + e^{-2x} dy = 0\)

\(\Longrightarrow dx =-e^{-2x} dy\)

\(\Longrightarrow {dx \over dy} =-e^{-2x}\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx} =-e^{2x}\)

\(\Longrightarrow dy =-e^{2x} \, dx\)

\(\Longrightarrow y(x) =- \int e^{2x} \, dx\)

\(\Longrightarrow y(x) =- {1 \over 2} e^{2x} +c\)

Substituindo \(x=0\) e \(y(0)=1\), o valor da constante \(c\) é:

\(\Longrightarrow y(0) =- {1 \over 2} e^{2 \cdot 0} +c\)

\(\Longrightarrow 1 =- {1 \over 2} +c\)

\(\Longrightarrow c = 1 +{1 \over 2}\)

\(\Longrightarrow c = {3 \over 2}\)

Então,a resposta final é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ y(x) =- {1 \over 2} e^{2x} +{3 \over 2} $}\)