probabilidade e estatistica

Para resolver este problema, devemos colocar em prática conceitos de probabilidade e de analise combinatória, em especial de combinação simples. 

A combinação simples é caracterizada pelo agrupamento de elementos de um conjunto em subconjunto, desconsiderando subconjuntos que se diferem apenas pela ordem dos elementos. A quantidades de combinações simples de um determinado conjunto está expressa pela equação abaixo.

\(C_{(n,p)}=\dfrac{n!}{p!\cdot (n-p)!},\)

em que \(n\) é a quantidade de elementos do conjunto e \(p\) a quantidade de elementos de cada subconjunto.

Assim, a probabilidade de ocorrerem \(x\) sucessos dentre \(n\) tentativas, onde \(p\) é a probabilidade de sucesso, é:

\(P(x)=C(n,p)\cdot p^{x}\cdot(1-p)^{n-x}\),

Tendo isso em mente e dado que a probilidade do tudo não ser defeituoso é de \(0,80\), tem-se que a probabilidade do tubo apresentar defeitos é de \(0,20 \text{ (1-0,80)}\). Ddenonimando de \(x\) a quantidade de tubos defeituosos, calcula-se a probabilidade de que não mais do que \(2\) tubos dentre os \(10\) extraidos sejam defeituosos:

\(\begin{align} P(x\leq10)&=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2) \\&=C_{(10,0)}\cdot(0,20)^{0}\cdot(0,80)^{10} + C_{(10,1)}\cdot(0,20)^{1}\cdot(0,80)^{9} + C_{(10,2)}\cdot(0,20)^{2}\cdot(0,80)^{8} \\&=\dfrac{10!}{0!\cdot(10-0)!}\cdot(0,20)^{0}\cdot(0,80)^{10}+\dfrac{10!}{1!\cdot(10-1)!}\cdot(0,20)^{1}\cdot(0,80)^{9}+\dfrac{10!}{2!\cdot(10-2)!}\cdot(0,20)^{2}\cdot(0,80)^{8} \\&=1\cdot (0,20)^0 \cdot (0,80)^{10}+10\cdot (0,20)^1 \cdot (0,80)^{9}+45\cdot (0,20)^2 \cdot (0,80)^{8} \\&=0,1074+0,2684+0,3020 \\&=0,6778 \\&=67,78\text{ %} \end{align}\)

Portanto, a probabilidade de de que não mais do que \(2\) tubos dentre os \(10\) extraidos sejam defeituosos \(\boxed{67,78\text{ %}}\).