Questão: O conjunto de todas as n-uplas de números reais da forma (x,x,...,x) com as operações padrão de R^n. É um conjunto de espaço vetorial?

Sim, pois com as operações normais de R^n, no conjunto das n-uplas, os 8 axiomas que determinam o espaço vetorial se verificam. 

Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:

1. Quaisquer que sejam u,v,wV:

   (u+v)+w = u+(v+w)

2. Existe öV (elemento nulo) tal que para todo vV:

   ö + v = v

3. Para cada vV, existe –vV (elemento oposto) tal que

   v+(–v)=ö

4. Quaisquer que sejam u,vV, segue que

   u+v=v+u

5. Para todo escalar kK e quaisquer v,wV:

   k.(v+w) = k.v + k.w

6. Para quaisquer k,mK e todo vV:

   (k+m).v = k.v + m.v

7. Para quaisquer k,mK e qualquer vV:

   (km).v = k(m.v)

8. Para qualquer vV tem-se que

   1.v = v

Para ser um espaço vetorial, deve satisfazer a um conjunto de axiomas:

1) Associatividade

\(((x_1,x_1,...,x_1) + (x_2,x_2,...,x_2)) + (x_3,x_3,...,x_3) = (x_1,x_1,...,x_1) + ((x_2,x_2,...,x_2) + (x_3,x_3,...,x_3))\)

2) Existência do elemento neutro

\((x,x,...,x) + (0,0,...,0) = (x,x,...,x)\)

3) Existência do elemento oposto

\((x,x,...,x) + (-x,-x,...,-x) = (0,0,...,0)\)

4) Comutatividade

\((x_1,x_1,...,x_1) + (x_2,x_2,...,x_2) = (x_2,x_2,...,x_2) + (x_1,x_1,...,x_1)\)

Perceba que todos relacionados à soma são satisfeitos. Basta mostrar para os de produto.

Portanto, é um conjunto de espaço vetorial.