Determine os valores de m para os quais a equação...

Pede-se os valores de "m" para os quais a equação abaixo tenha solução: 

6*(m-1)(sen²x - (m-1)senx - m = 0 -----veja que 6*(m-1) = (6m-6). Assim, ficamos com: 
(6m-6)*sen²x - (m-1)*senx - m = 0 

Vamos fazer senx = k. Assim: 

(6m-6)k² - (m-1)k - m = 0 

Pede-se o valor de "m" para que a equação acima tenha solução. 
Veja: como se trata de uma equação do 2º grau, então ela só terá solução se o seu delta for MAIOR OU IGUAL a zero. 
Veja que o delta dessa função é (m-1)² - 4*(6m-6)*(-m). 
Então teremos que impor que esse delta seja maior ou igual a zero. Assim: 

(m-1)² - 4*(6m-6)*(-m) > = 0 ----multiplicando logo (-4) por (-m), ficamos com:: 
(m-1)² + 4m*(6m-6) > = 0 -----desenvolvendo, ficamos com: 
m²-2m+1 + 24m² - 24m > = 0 ----trabalhando os termos semelhantes, temos: 
25m² - 26m + 1 > = 0 

Para estudarmos a variação de sinais temos que encontrar as raízes da equação: 

25m² - 26m + 1 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontra as seguintes raízes: 

x' = 1/25 
x'' = 1 

Agora vamos para a variação de sinais. Assim: 

25m² - 26m + 1 > = 0 .....+++++(1/25)- - - - (1)++++++++ 

Como queremos que a inequação seja MAIOR OU IGUAL A ZERO, então só nos vai interessar onde tiver sinal MAIS no gráfico acima. Assim, a resposta será: 

m < = 1/25 ou m > = 1 

Em forma de conjunto-solução, a resposta seria esta: 

S = {m £ R | m < = 1/25 ou m > = 1} -----[tradução: "S" é o conjunto dos "m" pertencentes aos reais, tal que "m" é menor ou igual a 1/25 ou "m" é maior ou igual a 1]. 

Você também poderia representar a resposta assim, o que é a mesma coisa: 

S = (-ºº; 1/25] U [1; +ºº).

dhaxo, tdo isso é a resposta?? credo....