Qual o valor de a para que os vetores a=(a,5,-4) e b=(a+1,2,4) sejam ortogonais?

Para que os vetores sejam ortogonais, uma condição é que o produto interno ou produto escalar seja zero

Ou seja:

\(a.b=0\)

Assim:

\((a,5,-4).(a+1,2,4) =0\\ (a^2+a)+(5.2)+(-4.4)=0\\ a^2+a-6=0\)

Usando bhaskara:

\(a = {-1 \pm \sqrt{1^2-4.1.-6} \over 2.1}\\ a = {-1 \pm \sqrt{25} \over 2}\\ a = {-1 \pm 5\over 2}\\ a=-3\:\:e\:\:a=2 \)

Os valores de \(a\) são:

\(\boxed{a=-3\\ a=2}\)