Volume

Para resolver esse exercício, primeiro encontramos a região descrita através de seus extremos:

\(\begin{align} g(x)&=y\\ |x-1|&=1\\ x-1&=\pm1\\ x&\in\{0,2\} \end{align}\)

Para encontrar o volume, vamos integrar o diferencial de volume:

\(V=\int_0^2 2\pi x\cdot [y-g(x)]dx\)

Substituindo os dados do exercício, temos:

\(V=2\pi \int_0^2 x\cdot (1-|x-1|)dx\)

Para facilitar a integração do módulo, vamos dividir a integral na soma de duas:

\(\begin{align} V&=2\pi \int_0^1 x\cdot (1-|x-1|)dx+2\pi \int_1^2 x\cdot (1-|x-1|)dx\\ &=2\pi \int_0^1 x\cdot [1+(x-1)]dx+2\pi \int_1^2 x\cdot [1-(x-1)]dx\\ &=2\pi \int_0^1 x\cdot xdx+2\pi \int_1^2 x\cdot (2-x)dx\\ &=2\pi \int_0^1 x^2dx+2\pi \int_1^2 2x-x^2dx \end{align}\)

Usando a regra do tombo invertida, temos:

\(\begin{align} V&=2\pi \left[{x^3\over3}\right]_0^1+2\pi \left[x^2-{x^3\over3}\right]_1^2\\ &=2\pi \left[{1^3\over3}\right]+2\pi \left[\left(2^2-{2^3\over3}\right)-\left(1^2-{1^3\over3}\right)\right]\\ &={2\pi\over3}+8\pi-{16\pi\over3}-\left(2\pi-{2\pi\over3}\right) \end{align}\)

Logo temos o volume:

\(\boxed{V=2\pi}\)