Questão 5. Vamos encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 utilizando o Método de Newton-Raphson. Realize 1 iteração. Além disso, temos x0=1 e f'(x)= 2x. Após a realização da iteração diga o valor encontrado para x1.
Neste exercício, tem-se o seguinte:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x) = x^2-3 \\ y=0 \end{matrix} \right.\)
Tem-se \(y=0\) porque queremos encontrar a raiz da função \(f(x)\).
Sendo o chute inicial \(x_0=1\), os valores de \(f(x_0)\) e \(f'(x_0)\) são:
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_0) = x_0^2-3 = (1)^2 - 3 \\ f'(x_0) = 2x_0 =2 \cdot( 1 )\end{matrix} \right.\)
\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { f(x_0) = -2 } \\ \underline { f'(x_0) = 2 } \end{matrix} \right.\)
Então, o valor de \(\Delta y\) é:
\(\Longrightarrow \Delta y = y-f(x_0)\)
\(\Longrightarrow \Delta y = 0-(-2)\)
\(\Longrightarrow \underline { \Delta y = 2}\)
Com isso, o valor de \(\Delta x\) é:
\(\Longrightarrow \Delta x = \big [ f'(x_0) \big ]^{-1} \cdot \Delta y\)
\(\Longrightarrow \Delta x = \big [ 2 \big ]^{-1} \cdot (2)\)
\(\Longrightarrow \underline { \Delta x=1}\)
Portanto, o valor de \(x_1\) é:
\(\Longrightarrow x_1 = x_0 + \Delta x\)
\(\Longrightarrow x_1 = 1+1\)
\(\Longrightarrow \fbox {$ x_1 = 2 $}\)
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