questão de calculo 4

a solução da equação y'' + y' -6y= 0, é uma função que atende as condições iniciais: y(0)=1 e y'(0)=0. Então, o valor aproximado desta solução para x=1, é:

Cálculo IV

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UNIUBE

0

1

Rildo Silveira

20.05.2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

08.06.2018

Temos que a equação característica será:

r²-2r+1 = 0

Δ = 0

r1 = 1
r2 = 1

A solução será :

$y(x) = C_{1}e^{ r_{1}x } + C_{2}xe^{ r_{2}x } \\\\ y(x) = C_{1}e^{ x } + C_{2}xe^{ x}$

Calculando y'

$y'(x) = C_{1}e^{ x } + C_{2}e^{ x }+xC_{2}e^{ x }\\\\
y'(x) = C_{1}e^{ x } + (x+1)C_{2}e^{ x }$
y(0) = 5, então:

$y(0) = C_{1}e^{0} + C_{2}0e^{ 0} \\ \\ y(0) = C_{1} \\ \\ C_{1} = 5$

y '(0) = -3, então:

$y'(0) = C_{1}e^{ 0 } + (0+1)C_{2}e^{ 0 } \\ \\ 
y'(0) = C_{1} + C_{2} \\ \\ 
C_{1} + C_{2} =-3 \\ \\ 
5 + C_{2} =-3 \\ \\ 
C_{2}=-8$

Portanto a solução será:

$y(x) = 5e^{ x } - 8xe^{ x}$

Calculando y(1):

$y(1) = 5e^{ 1 } - 8.1.e^{ 1} \\ \\
y(1) = 5e - 8e \\ \\
y(1) = -3e\\ \\
\boxed{\boxed{y(1) = -8,1548}}$