Como calcular uma equacao direferencial de segunda ordem

Uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem é uma equação da forma:

\(a(x) y''+ b(x) y' + c(x) y = d(x)\)

onde \(a=a(x), b=b(x), c=c(x) e d=d(x) \) são funções conhecidas somente da variável independente x.

Dois fatos básicos permitem-nos resolver equações lineares homogêneas. O primeiro é que, se conhecermos duas soluções y1 e y2 de tal equação, então a combinação linear \(y = c1y1 + c2y2\) também é uma solução. 

Exemplos de EDO lineares

\((1) x²y" + sen(x)y' + exp(x)y = u(x)\)
\((2) y" -7y' + 12y = cos(x)\)

Para equações lineares de segunda ordem, se d(x) é diferente de zero, a equação linear será dita não homogênea e se d(x)=0 a equação linear será dita homogênea.

Fonte: http://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/edo/edo2ord.htm