A reta r: x−2 4 = y+4 5 = z 3 , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos pontos A=(0 , −5, −2) e B=(1, n−5, 0) . Calcule os valores de n.

Álgebra

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CET-FAESA

Thalyta Leles

23/05/2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

25.06.2018

A reta r está em sua forma simétrica. Isso quer dizer que as componentes de seu vetor diretor $\underset{u}{\rightarrow}$ são os denominadores:

$r:\frac{x-2}{4}=\frac{y+4}{5}=\frac{z}{3}$

$\therefore \vec{u}=(4,5,3)$

Se os Pontos dados estão contidos na outra reta, podemos encontrar um vetor que também está contido nela. Fazemos isso por Grassmann:

$\vec{AB}=B-A \\ \\ \vec{AB}=B-A \\ \vec{AB}=(1,n-5,0)-(0,-5,-2) \\ \vec{AB}=(1,n,2)$

Com esses dois vetores obtidos, e com o dado que eles formam um angulo de 300° entre si, podemos calcular os valores de $n$ através da definição do produto escalar:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|cos\alpha$

onde:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}$ é o produto escalar dos dois vetores:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=(5,5,3)\cdot(1,n,2) \\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=5\cdot1+5\cdot n+3\cdot 2 \\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=5+5n+6 \\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}= 5n+11$

$|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|$ é o produto dos módulos de cada vetor:

$|\overrightarrow{u}|=\sqrt{4^2+5^2+3^2} \\ \\ |\overrightarrow{u}|=\sqrt{16+25+9} \\ \\ |\overrightarrow{u}|=\sqrt{16+25+9} \\ \\ |\overrightarrow{u}|=\sqrt{50}$ $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1^2+n^2+2^2} \\ \\ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+n^2+4} \\ \\ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{1+4+n^2} \\ \\ |\overrightarrow{AB}|=\sqrt{5+n^2}$

$|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|$ $=\sqrt{50}\cdot \sqrt{5+n^2}$

$|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|$ $=\sqrt{50 \cdot (5+n^2 )}$

$|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|$ $=\sqrt{ (225+50n^2 )}$

$\alpha$ é o angulo formado entre os dois vetores. No enunciado, sabenos que $\alpha = 300 ~graus$

$cos (\alpha) = cos(300)= \frac{1}{2}$

Substituindo os valores obtidos na fórmula, temos:

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{u}| |\overrightarrow{AB}|cos\alpha$

$5n+11= \sqrt{(225+50n^2)} \cdot\frac{1}{2}$

Elevando ao quadrado os dois lados da equação, para elminarmos a raíz quadrada:

$(5n+11)^2= (\sqrt{(225+50n^2)} \cdot\frac{1}{2})^2 \\ 25n^2+2 \cdot5n \cdot 11+11^2=(225+50n^2) \cdot\frac{1}{4} \\ \\ 25n^2+110n+121=(225+50n^2) \cdot\frac{1}{4} \\ \\ 100n^2+440n+484=225+50n^2 \\ \\ 50n^2+440n+259=0$

$\Delta =440^2-4\cdot 50 \cdot259=141800 \\\\ \begin{matrix} n1\\ n2 \end{matrix}= \frac{-440\pm \sqrt{141800}}{2\cdot50} \\ \\ n1=\frac{-440+ \sqrt{141800}}{100}\approx -0.63 \\ \\ n2=\frac{-440- \sqrt{141800}}{100}\approx -8.17$