Calcule a área da região limitada pela curva y=2+x-x^2 e pelo eixo x.

Primeiro, deve-se calcular as abscissas onde a função \(y_{curva}=2+x-x^2\) cruzam o eixo x (reta \(y_{eixo}=0\)). Portanto, tem-se a seguinte equação:

\(\Longrightarrow y_{eixo} = y_{curva}\)

\(\Longrightarrow 0=2+x-x^2\)

Pelo método de Bhaskara, tem-se \(a=-1\), \(b=1\) e \(c=2\). Portanto, os valores das abscissas são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1^2-4\cdot(-1)\cdot 2} \over 2\cdot (-1)}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{1-(-8)} \over -2}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm \sqrt{9} \over -2}\)

\(\Longrightarrow x = {-1 \pm 3 \over -2}\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} x_1=-1 \\ x_2 = 2 \end{matrix} \right.\)

Como \(a=-1<0\), a concavidade da função é voltada para baixo. Portanto, no intervalo \(-1 \le x \le 2\), a função \(y_{curva}=2+x-x^2\) se apresenta acima do eixo x, conforme na figura a seguir:

Como a função \(y_{curva}=2+x-x^2\) se apresenta acima do eixo x em \(-1 \le x \le 2\), a área entre as duas funções é calculada da seguinte forma:

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{x_1}^{x_2}(y_{curva} - y_{eixo}) \, dx\)

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{-1}^{2}(2+x-x^2-0) \, dx\)

Com isso, a área é:

\(\Longrightarrow A= \int \limits_{-1}^{2}(2+x-x^2) \, dx\)

\(\Longrightarrow A= (2x+{1 \over 2}x^2-{1 \over 3}x^3) \bigg |_{-1}^{2}\)

\(\Longrightarrow A= \Big (2\cdot (2)+{1 \over 2}(2)^2-{1 \over 3}(2)^3 \Big ) - \Big (2\cdot (-1)+{1 \over 2}(-1)^2-{1 \over 3}(-1)^3 \Big )\)

\(\Longrightarrow A= \Big (4+2-{8 \over 3} \Big ) - \Big (-2+{1 \over 2}+{1 \over 3} \Big )\)

\(\Longrightarrow A= \Big ({20 \over 6} \Big ) - \Big (-{7 \over 6} \Big )\)

\(\Longrightarrow A= {27 \over 6} \)

\(\Longrightarrow \fbox {$ A= {9 \over 2} $}\)