Calcule a velocidade da curva r(t) = ( t - sent, 1 - cost, 0). Indique a única resposta correta.

(−sen t, cos t, 1)

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral e Movimento Vertical.

Em especial, é preciso lembrar que a função velocidade no tempo (\(v(t)\)) consiste na derivada da função de posição (\(r(t)\)). Assim, derivando a função dada, resulta que:

\(\begin{align} v(t)&=r'(t) \\&=\dfrac{d(r(t))}{dt} \\&=\dfrac{d(t-\text{sen}(t),\text{ }1-\cos(t),\text{ }0)}{dt} \\&=(1-\cos(t),\text{ sen}(t),\text{ }0) \end{align}\)

Portanto, o vetor velocidade da curva é \(\boxed{(1-\cos(t),\text{ sen}(t),\text{ }0) }\).

Para exemplificar, pode-se afirmar que em \(t=\pi \text{ } s\), a velocidade é:

\(\begin{align} v(\pi)&=(1-\cos(\pi),\text{ sen}(\pi),\text{ }0) \\&=(1-(-1),\text{ }0,\text{ }0) \\&=(2,\text{ } 0,\text{ 0}) \end{align}\)