O valor de x é:
Boa noite, Rosana!
Só fatorar ambos os lados na mesma base (2)
√2=2^(1/2) e
³√16=³√(2^4)=2^(4/3)
Já aplicando "diretamente" nas equações dadas, teremos:
(2)^((1/2)*(3x-1))=(2)^((4/3)*(2x-1))
Como as bases são iguais, para as potências retornarem mesmos resultados, os expoentes também tem que ser iguais. Portanto:
(1/2)*(3x-1)=(4/3)*(2x-1) Multiplicando por 6 em ambos os lados (MMC de 2 e 3):
6*(1/2)*(3x-1)=6*(4/3)*(2x-1)
3(3x-1)=8(2x-1)
9x-3=16x-8
9x-16x=-8+3
-7x=-5
x=5/7
Espero ter ajudado! :)
Inicialmente, utilizaremos a propriedade dos expoentes, isto é, \({\left( {{a^b}} \right)^c} = {a^{bc}}\). Então, temos:
\[{2^{\dfrac{1}{2}\left( {3x - 1} \right)}} = {16^{\dfrac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)}}\]
.
Nesta etapa, converteremos o termo 16^{\dfrac{1}{3}\left(2x-1\right)} para a base 2. Assim, temos:
\[{16^{\dfrac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)}} = {\left( {{2^4}} \right)^{\dfrac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)}}\]
.
Aplicaremos novamente, as propriedades dos expoentes \left(ab\right)c=a^{bc}. Portanto, teremos:
\[{2^{\dfrac{1}{2}\left( {3x - 1} \right)}} = {2^{4 \cdot \dfrac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)}}\]
Nesta etapa, temos que se \({a^{f\left( x \right)}} = {a^{g\left( x \right)}}\), então \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\). Assim teremos:
\[\dfrac{1}{2}\left( {3x - 1} \right) = 4 \cdot \dfrac{1}{3}\left( {2x - 1} \right)\]
Com isso, resolvendo de ambos os lados, temos:
\[\dfrac{3}{2}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{3}x - \dfrac{4}{3}\]
Encontrando o valor de x, temos que \(\boxed{x = \dfrac{5}{7}}\).
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