Como achar o simétrico de P em relação ao plano no caso a seguir?

P=(1,1,1) Plano: 4y-2z+3=o

Vetores e Geometria Analítica

•

UNESP

Luis Fernando

20.10.2014

💡 5 Respostas

Lucio Junior

26.09.2018

É su estudar mais que vai achar a resposta.

Andre Smaira

12.02.2019

Nesse exercício vamos estudar simetria tridimensional.

Temos o plano

4 y - 2 z + 3 = 0

$4y-2z+3=0 <p> </p> <p>E o ponto</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>P</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>P</mi><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">P=(1,1,1) <p> </p> <p>Queremos o ponto simétrico de $P$ em relação ao plano.</p> <hr /> <p>Basicamente o que queremos é um ponto que esteja na mesma reta perpendicular ao plano que passe por $P$. O vetor diretor dessa reta é o vetor normal ao plano, ou seja, o vetor composto pelos coeficientes da equação do plano:</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>⃑</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mi>,</mi><mn>4</mn><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>⃑</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mi>,</mi><mn>4</mn><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display"> ec{n}=(0,4,-2) <p> </p> <hr /> <p>Com esse vetor normal, podemos escrever a equação vetorial da reta:</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>⃑</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mi>,</mi><mn>4</mn><mi>t</mi><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>t</mi><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>+</mo><mi>t</mi><mi>⃑</mi><mrow><mi>n</mi></mrow><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mi>,</mi><mn>4</mn><mi>t</mi><mi>,</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>t</mi><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">X=P+t ec{n}=(1,1,1)+(0,4t,-2t)=(1,1+4t,1-2t) <p> </p> <hr /> <p>Substituindo na equação do plano, obtemos o valor de $t$ para o qual a reta cruza o plano:</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mn>4</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>dfrac</mi><mn>14</mn></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mn>4</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>t</mi><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇒</mo><mi>t</mi><mo>=</mo><mo>−</mo><mi>dfrac</mi><mn>14</mn></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">4(1+4t)-2(1-2t)+3=0Rightarrow t=-dfrac14 <p> </p> <hr /> <p>Se para $t=0$ temos $X=P$ e para $t=- rac14$ temos o plano, então para o ponto simétrico temos $t=- rac12$:</p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>&</mi><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>l</mi><mi>;</mi><mn>2</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>&</mi><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>l</mi><mi>;</mi><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>+</mo><mn>4</mn><mi>&</mi><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>l</mi><mi>;</mi><mn>2</mn><mi>,</mi><mn>1</mn><mo>−</mo><mn>2</mn><mi>&</mi><mi>f</mi><mi>r</mi><mi>a</mi><mi>s</mi><mi>l</mi><mi>;</mi><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">sim(P)=(1,1+4&frasl;2,1-2&frasl;2) <p> </p> <p> </p> <div class="MathJax_Display" style="text-align: center;"><span class="MathJax" data-mathml="<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mrow><mi>boxed</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>3</mn><mi>,</mi><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math>" id="MathJax-Element-1-Frame" role="presentation" style="position:relative; text-align:center" tabindex="0"><span class="MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block" role="presentation"><math display=""block"" xmlns=""http://www.w3.org/1998/Math/MathML""><mrow><mi>boxed</mi><mrow><mi>s</mi><mi>i</mi><mi>m</mi><mo>(</mo><mi>P</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mi>,</mi><mn>3</mn><mi>,</mi><mn>0</mn><mo>)</mo></mrow></mrow></math></span></span></div> <script id="MathJax-Element-1" type="math/tex; mode=display">oxed{sim(P)=(1,3,0)} <p> </p> </section><div class="AnswerCard_interactions-buttons__9BV0B"><div class="Interactions_card-cta-buttons__l2G_S" data-testid="pd-interaction-buttons"><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" data-testid="like-icon" class="LikeIcon_pd-like-icon__ZdUij"><title>Like</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M22.9 10.3a3.5 3.5 0 0 0-3.5-2.8h-1.2l-.6-.3c-.1-.2-.2-.4-.1-.6v-.7c0-.8-.3-1.6-.9-2.2l-1-1.3c-.4-.3-.8-.4-1.2-.4-.4 0-.8.1-1 .4L8.1 7.8l-.3.3c-.5-.4-1.2-.7-2-.7h-.3C3.5 7.4 2 9 2 11v6.6c0 2 1.6 3.6 3.5 3.6h.4c1 0 2-.5 2.6-1.3.9.8 2 1.3 3.2 1.3h5.6c1.4 0 2.6-.9 3.2-2.2l2.2-5.2c.5-1 .3-3.1.2-3.5Zm-7.6-1.1.8.5.3.1h3c.6 0 1.1.5 1.2 1V13l-2.3 5.2c-.2.5-.6.8-1 .8h-5.6c-1.3 0-2.3-1-2.3-2.3v-6.3c0-.4.2-.7.4-.9l4-4.1.6-.2c.2 0 .4 0 .5.2l.3.5v.3L15 8.3l.3.9Zm-8.2 8.2v-6.3c0-.7-.6-1.3-1.3-1.3h-.2c-.7 0-1.4.6-1.4 1.4v6.2c0 .8.7 1.4 1.4 1.4h.2c.7 0 1.3-.6 1.3-1.4Z"></path></svg><span>0</span></div><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" class="DislikeIcon_pd-dislike-icon__Kk3M8"><title>Dislike</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M1.1 13.7a3.5 3.5 0 0 0 3.5 2.8h1.2l.6.3c.1.2.2.4.1.6v.7c0 .8.3 1.6.9 2.2l1 1.3c.4.3.8.4 1.2.4.4 0 .8-.1 1-.4l5.3-5.4.3-.3c.5.4 1.2.7 2 .7h.3c2 0 3.5-1.6 3.5-3.6V6.4c0-2-1.6-3.6-3.5-3.6h-.4c-1 0-2 .5-2.6 1.3-.9-.8-2-1.3-3.2-1.3H6.7c-1.4 0-2.6.9-3.2 2.2l-2.2 5.2c-.5 1-.3 3.1-.2 3.5Zm7.6 1.1-.8-.5a1 1 0 0 0-.3-.1h-3c-.6 0-1.1-.5-1.2-1V11l2.3-5.2c.2-.5.6-.8 1-.8h5.6c1.3 0 2.3 1 2.3 2.3v6.3c0 .4-.2.7-.4.9l-4 4.1-.6.2c-.2 0-.4 0-.5-.2a1 1 0 0 1-.3-.5v-.3l.2-2.2-.3-.9Zm8.2-8.2v6.3c0 .7.6 1.3 1.3 1.3h.2c.7 0 1.4-.6 1.4-1.4V6.6c0-.8-.7-1.4-1.4-1.4h-.2c-.7 0-1.3.6-1.3 1.4Z"></path></svg><span>0</span></div></div></div></div></div><div data-testid="answer-card" class="AnswerCard_answer-card__wbYdJ AnswerExperiment_answer__ig4T5"><div class="AnswerCard_unclickable-cover-answer-card__kO4BU"></div><section class="AnswerCard_answer-info__nNL6A"><a href="/perfil/762543-andre-smaira" class="UserBadge_user-badge__BEeKk AnswerCard_answer-user-image___yntN"><div class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://resources.passeidireto.com/core/student_profile_images/profile-default.gif" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="46" height="46" loading="eager"/></div><section class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-3071254488 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 AnswerCard_answer-user-name__DSviW pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-3071254488">Andre Smaira</span> </p><p class="jsx-3071254488 pd-caption"><time data-testid="time-element" dateTime="2019-02-19T13:17:06.000Z">19.02.2019</time></p></section></a></section><div class="AnswerCard_answer-content-container__c5XUg"><section style="filter:blur(6px)" class="AnswerCard_answer-content__beWHC pd-paragraph-md"><p><span style="font-size:12pt">Nesse exercício vamos estudar simetria tridimensional.</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Temos o plano</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$4y-2z+3=0$$</span></p><p><span style="font-size:12pt">E o ponto</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$P=(1,1,1)$$</span></p><p><span style="font-size:12pt">Queremos o ponto simétrico de $P$ em relação ao plano.</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Basicamente o que queremos é um ponto que esteja na mesma reta perpendicular ao plano que passe por $P$. O vetor diretor dessa reta é o vetor normal ao plano, ou seja, o vetor composto pelos coeficientes da equação do plano:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$\vec{n}=(0,4,-2)$$</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Com esse vetor normal, podemos escrever a equação vetorial da reta:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$X=P+t\vec{n}=(1,1,1)+(0,4t,-2t)=(1,1+4t,1-2t)$$</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Substituindo na equação do plano, obtemos o valor de $t$ para o qual a reta cruza o plano:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$4(1+4t)-2(1-2t)+3=0\Rightarrow t=-\dfrac14$$</span></p><hr/><p><span style="font-size:12pt">Se para $t=0$ temos $X=P$ e para $t=-\frac14$ temos o plano, então para o ponto simétrico temos $t=-\frac12$:</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$sim(P)=(1,1+4/2,1-2/2)$$</span></p><p><span style="font-size:12pt">$$\boxed{sim(P)=(1,3,0)}$$</span></p></section><div class="AnswerCard_interactions-buttons__9BV0B"><div class="Interactions_card-cta-buttons__l2G_S" data-testid="pd-interaction-buttons"><div class="Interactions_interaction-button-wrapper__h5vo_"><svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" viewBox="0 0 24 24" width="24" height="24" data-testid="like-icon" class="LikeIcon_pd-like-icon__ZdUij"><title>Like</title><path fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M22.9 10.3a3.5 3.5 0 0 0-3.5-2.8h-1.2l-.6-.3c-.1-.2-.2-.4-.1-.6v-.7c0-.8-.3-1.6-.9-2.2l-1-1.3c-.4-.3-.8-.4-1.2-.4-.4 0-.8.1-1 .4L8.1 7.8l-.3.3c-.5-.4-1.2-.7-2-.7h-.3C3.5 7.4 2 9 2 11v6.6c0 2 1.6 3.6 3.5 3.6h.4c1 0 2-.5 2.6-1.3.9.8 2 1.3 3.2 1.3h5.6c1.4 0 2.6-.9 3.2-2.2l2.2-5.2c.5-1 .3-3.1.2-3.5Zm-7.6-1.1.8.5.3.1h3c.6 0 1.1.5 1.2 1V13l-2.3 5.2c-.2.5-.6.8-1 .8h-5.6c-1.3 0-2.3-1-2.3-2.3v-6.3c0-.4.2-.7.4-.9l4-4.1.6-.2c.2 0 .4 0 .5.2l.3.5v.3L15 8.3l.3.9Zm-8.2 8.2v-6.3c0-.7-.6-1.3-1.3-1.3h-.2c-.7 0-1.4.6-1.4 1.4v6.2c0 .8.7 1.4 1.4 1.4h.2c.7 0 1.3-.6 1.3-1.4Z"></path></svg><span>0</span></div><div 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AnswerExperiment_free-trial__xKVfT test-blocked-answer"><div class="FreeTrialBanner_container__AjFZ_" data-testid="free-trial-paywall"><img class="FreeTrialBanner_bg-image__qVeI0" src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/bubbles-opt.svg" alt=""/><div class="FreeTrialBanner_left-side__vM75A"><h2>Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto</h2><div class="FreeTrialBanner_bullets__hbAUE"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/cadeado-opt.svg" alt=""/><p>Esse e outros conteúdos desbloqueados</p></div><div class="FreeTrialBanner_bullets__hbAUE"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/paper-opt.svg" alt=""/><p>16 milhões de materiais de várias disciplinas</p></div><div class="FreeTrialBanner_bullets__hbAUE"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/print-opt.svg" alt=""/><p>Impressão de materiais</p></div></div><div class="FreeTrialBanner_right-side__qeoVl"><div class="FreeTrialBanner_card__LHCLr"><h3>Agora você pode testar o</h3><h2>Passei Direto 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src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/list-opt.svg" alt="Lista com marcadores" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/sub-opt.svg" alt="Subscrito" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/super-opt.svg" alt="Sobrescrito" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/indent-minus-opt.svg" alt="Diminuir recuo" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/indent-plus-opt.svg" alt="Aumentar recuo" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/color-picker-opt.svg" alt="Cor da fonte" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/color-background-opt.svg" alt="Cor de fundo" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/align-opt.svg" alt="Alinhamento" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/clean-opt.svg" alt="Limpar" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span><span class="FakeEditor_editor-icons__mA4UG"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/hyperlink-opt.svg" alt="Inserir link" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/image-opt.svg" alt="Imagem" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/formula-opt.svg" alt="Fórmula" class="Image_pd-image__ckcpS" width="28" height="24"/></span></div><div data-testid="editor" class="quill-editor FakeEditor_text-area__P6qx2"><p>Para escrever sua resposta aqui, <span>entre ou crie uma conta</span>.</p></div><div data-testid="register-buttons" class="FakeEditor_action__aMusB"><div class="UserBadge_user-badge__BEeKk"><div class="jsx-3149952536 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/default/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="33" height="33" loading="lazy"/></div></div><button class="BaseButton_pd-base-button__Wqf7L BaseButton_secondary__oSbto BaseButton_disabled__PaP2K" disabled=""><div class="BaseButton_button-content__1xyG_">Enviar uma resposta</div></button></div></div></div></div><section class="RecommendationWidget_recommendation-widget-container__BC9zQ QuestionPageExperiment_internal-widget__z2SeP"><h2 class="RecommendationWidget_recommendation-widget-title__k4yYT pd-heading-md">Outros materiais</h2><ul class="RecommendationWidget_recommendation-widget-list__RtMzA RecommendationWidget_blurred-in-responsive__aOBOB"><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/134314904/l-ista-exercicios-para-p-2-vga">LIsta Exercicios para P2 VGA</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/125438578/guia-tecnico-de-enderecamento-de-correspondencias">guia-tecnico-de-enderecamento-de-correspondencias</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/123150687/fundamentos-de-sistemas-de-informacao">Fundamentos de Sistemas de Informação</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/120294812/minha-biblioteca-2019-10-sagah-clientes">minha-biblioteca-2019-10-sagah-clientes</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/117451169/soma-de-vetores-exercicios">Soma de vetores exercícios</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/117451165/vetores-soma-subtracao-e-decomposicao-exercicios">Vetores soma, subtração e decomposição Exercícios</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138646640/a-demanda-de-transporte-tem-como-caracteristica-ser-altamente-diferenciada-ou-se">A demanda de transporte tem como característica ser altamente diferenciada, ou seja, ela pode variar com a hora do dia, com o dia da semana, propós...</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138645117/como-no-caso-da-elipse-podemos-identificar-diversos-elementos-que-podem-auxiliar">Como no caso da elipse, podemos identificar diversos elementos que podem auxiliar na 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Seuresultado difere do produto escalar por ser também...</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138637192/o-produto-vetorial-e-de-grande-utilidade-para-a-fisica-para-analisar-o-comportam">O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento noeletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. ...</a></li></ul></section><footer class="NewFooter_footer-container__o19O4 Viewer_viewer-internal-footer__exO7L"><div class="NewFooter_footer-wrapper__a02_c"><div class="NewFooter_footer-logos__0gBO7"><svg width="166" height="30" viewBox="0 -1 166 29" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" class="NewFooter_pd-logo__eQpKC"><title>Logo Passei Direto</title><path data-testid="svg-path-test" fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M39.3047 24.918H40.7912L40.7977 19.6191C41.0564 19.8357 41.4746 20.0581 42.0481 20.299C42.6993 20.5478 43.3869 20.6686 44.078 20.6557C44.8631 20.6703 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width="13" height="20" class="QuestionRecommendation_question-mark-icon__TMv6f"/></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL"><a href="/pergunta/67832172/1-achar-o-ponto-p-simetrico-de-p-2-2-1-em-relacao-ao-plano-s-x-z-3-0" class="pd-heading-sm QuestionRecommendation_question-recommendation-title__OHhTJ pd-smooth-transition"><h3>1-Achar o ponto P`simétrico de P=(2,2,-1) em relação ao plano s:x-z+3=0</h3></a><div class="QuestionRecommendation_subject-institution__mdng0" data-testid="subject-institution"><p class="QuestionRecommendation_subject__DNz_p" data-testid="subject-name">Geometria Analítica</p><span class="QuestionRecommendation_separator__vMHDP" data-testid="institution-separator">•</span><p class="QuestionRecommendation_institution__E41qj" data-testid="institution-name">IFF</p></div><a href="/perfil/932448-giovanna-moreira" class="UserBadge_user-badge__BEeKk QuestionRecommendation_question-owner__98Lsi"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/67812868/picture/ec494361-abf9-4e2f-84ae-d3b787737d63/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="eager"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 QuestionRecommendation_question-owner-user-name___wNCF pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Giovanna Moreira</span> </p></section></a></div></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation__Z_yu9 RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL QuestionRecommendation_question-mark-bar__pNk_0"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/question-icon-opt.svg" alt="Question Icon" width="13" height="20" class="QuestionRecommendation_question-mark-icon__TMv6f"/></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL"><a href="/pergunta/17335227/determine-o-simetrico-de-p-2-1-3-em-relacao-iii-ao-plano-2-x-2-y-3-z-2-alguem" class="pd-heading-sm QuestionRecommendation_question-recommendation-title__OHhTJ pd-smooth-transition"><h3>Determine o simétrico de P(2,1,3) em relação: (iii) ao plano 2x - 2y +3z = 2. Alguém??</h3></a><div class="QuestionRecommendation_subject-institution__mdng0" data-testid="subject-institution"><p class="QuestionRecommendation_subject__DNz_p" data-testid="subject-name">Geometria Analítica</p><span class="QuestionRecommendation_separator__vMHDP" data-testid="institution-separator">•</span><p class="QuestionRecommendation_institution__E41qj" data-testid="institution-name">UFBA</p></div><a href="/perfil/2217-rodrigo-andre" class="UserBadge_user-badge__BEeKk QuestionRecommendation_question-owner__98Lsi"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/5005520/picture/684152ad-5621-4e41-99f4-9055c810c49e/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="eager"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 QuestionRecommendation_question-owner-user-name___wNCF pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Rodrigo André</span> </p></section></a></div></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation__Z_yu9 RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL QuestionRecommendation_question-mark-bar__pNk_0"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/question-icon-opt.svg" alt="Question Icon" width="13" height="20" class="QuestionRecommendation_question-mark-icon__TMv6f"/></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL"><a href="/pergunta/120769671/dada-a-reta-−-1-−-1-2-−-1-3-determine-a-a-projecao-ortogonal-de-1-2-−-1-sobre-a-" class="pd-heading-sm QuestionRecommendation_question-recommendation-title__OHhTJ pd-smooth-transition"><h3>Dada a reta ????: ???? − 1 = ????−1 2 = ????−1 3 , determine: a) A projeção ortogonal de ???? = (1, 2, −1) sobre a reta r. b) O ponto simétrico de P em rela...</h3></a><div class="QuestionRecommendation_subject-institution__mdng0" data-testid="subject-institution"><p class="QuestionRecommendation_subject__DNz_p" data-testid="subject-name">Geometria Analítica</p></div><a href="/perfil/16119-estudandocomquestoes" class="UserBadge_user-badge__BEeKk QuestionRecommendation_question-owner__98Lsi"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/120127703/picture/9b7700eb-2951-4c38-ae35-330fad2ac4c3/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="eager"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 QuestionRecommendation_question-owner-user-name___wNCF pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Estudando com Questões</span> </p></section></a></div></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation__Z_yu9 RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL QuestionRecommendation_question-mark-bar__pNk_0"><img src="/nextjs/1.226.205/_next/static/images/question-icon-opt.svg" alt="Question Icon" width="13" height="20" class="QuestionRecommendation_question-mark-icon__TMv6f"/></div><div class="QuestionRecommendation_question-recommendation-item__C4frL"><a href="/pergunta/120776790/dada-a-reta-−-1-−-1-2-−-1-3-determine-a-a-projecao-ortogonal-de-1-2-−-1-sobre-a-" class="pd-heading-sm QuestionRecommendation_question-recommendation-title__OHhTJ pd-smooth-transition"><h3>Dada a reta ????: ???? − 1 = ????−1 2 = ????−1 3 , determine: a) A projeção ortogonal de ???? = (1, 2, −1) sobre a reta r. b) O ponto simétrico de P em relaç...</h3></a><div class="QuestionRecommendation_subject-institution__mdng0" data-testid="subject-institution"><p class="QuestionRecommendation_subject__DNz_p" data-testid="subject-name">Geometria Analítica</p></div><a href="/perfil/16119-estudandocomquestoes" class="UserBadge_user-badge__BEeKk QuestionRecommendation_question-owner__98Lsi"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/120127703/picture/9b7700eb-2951-4c38-ae35-330fad2ac4c3/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="eager"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 QuestionRecommendation_question-owner-user-name___wNCF pd-smooth-transition pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Estudando com Questões</span> </p></section></a></div></div></div><h2 class="RecommendationContainer_recommendation-title__sLDr_ pd-heading-md">Materiais relacionados</h2><div class="RecommendationContainer_recommendation-content-items__qJ5sW"><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation__Avk3R RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><div class="RecommendationThumbnail_material-thumbnail__CZkQ7"><img src="https://files.passeidireto.com/Thumbnail/e8db814d-da8e-4e61-8a28-ecbef131bc0e/105/1.jpg" alt="" class="RecommendationThumbnail_thumbnail-image__P2xyr Image_pd-image__ckcpS" width="100" height="100" loading="lazy" data-testid="material-recommendation-thumbnail"/><span class="RecommendationThumbnail_material-page-count__yjUSM">4 pág.</span></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><a href="/arquivo/44846328/a-referida-barra-tem-diametro-de-60-mm-e-e-construido-com-um-aco-de-modulo-de-el" class="pd-heading-sm MaterialRecommendation_material-recommendation-title___wxWy pd-smooth-transition">A referida barra tem diâmetro de 60mm e é construído com um aço de módulo de elasticidade longitudinal (E) de 200GPa e coeficiente de Poisson (n) de 0,3. Sendo o diâmetro máximo permissível para a aplicação (em função da compressão) de 60,030 mm, determine a máxima carga normal permissível</a><p class="pd-caption">UNISA</p><a href="/perfil/20340-danilo-nogueira-jardim" class="UserBadge_user-badge__BEeKk MaterialRecommendation_material-owner__Ss8I_"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/default/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="lazy"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Danilo Nogueira Jardim</span> </p></section></a></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation__Avk3R RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><div class="RecommendationThumbnail_material-thumbnail__CZkQ7"><img src="https://files.passeidireto.com/Thumbnail/0668e4b7-76c0-4cc0-afea-926c79be762e/105/1.jpg" alt="" class="RecommendationThumbnail_thumbnail-image__P2xyr Image_pd-image__ckcpS" width="100" height="100" loading="lazy" data-testid="material-recommendation-thumbnail"/><span class="RecommendationThumbnail_material-page-count__yjUSM">7 pág.</span></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><a href="/arquivo/108270788/resolucao-do-livro-vetores-e-geometria-analitica-paulo-winterle-capitulo-6-o-pla" class="pd-heading-sm MaterialRecommendation_material-recommendation-title___wxWy pd-smooth-transition">Resolução do Livro Vetores e Geometria Analítica - Paulo Winterle (cápitulo 6, O PLANO) PARTE II</a><p class="pd-caption"></p><a href="/perfil/350437-professor-luis-henrique" class="UserBadge_user-badge__BEeKk MaterialRecommendation_material-owner__Ss8I_"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/32671608/picture/0ef170e6-bcda-4886-b204-ae27b1810a39/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="lazy"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">Professor Luís Henrique</span> </p></section></a></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation__Avk3R RecommendationContainer_recommendation-item__AFIkR"><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><div class="RecommendationThumbnail_material-thumbnail__CZkQ7"><img src="https://files.passeidireto.com/Thumbnail/83d28053-dc20-4ad0-a766-020f8c00af92/105/1.jpg" alt="" class="RecommendationThumbnail_thumbnail-image__P2xyr Image_pd-image__ckcpS" width="100" height="100" loading="lazy" data-testid="material-recommendation-thumbnail"/><span class="RecommendationThumbnail_material-page-count__yjUSM">8 pág.</span></div></div><div class="MaterialRecommendation_material-recommendation-item__I2bZz"><a href="/arquivo/94623719/intersecao-de-dois-planos" class="pd-heading-sm MaterialRecommendation_material-recommendation-title___wxWy pd-smooth-transition">Interseção de dois planos</a><p class="pd-caption">UFPR</p><a href="/perfil/527130-jackson-paterno" class="UserBadge_user-badge__BEeKk MaterialRecommendation_material-owner__Ss8I_"><div class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-image-box__rEvaW test-file-user-image"><img src="https://images.passeidireto.com/user_picture/29156676/picture/2e1ef9b7-eee6-46b3-89a7-7e47d4bb7a5a/picture.small" alt="User badge image" class="UserBadge_user-badge-image__nRGes Image_pd-image__ckcpS" width="25" height="25" loading="lazy"/></div><section class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name-info__v20ok"><p class="jsx-42405560 UserBadge_user-badge-name__0O8v6 pd-caption test-file-user-name"><span class="jsx-42405560">jackson Paterno</span> </p></section></a></div></div></div></div></div><div data-testid="content-item" class="Layout_content-item__Z5B0l"><section class="RecommendationWidget_recommendation-widget-container__BC9zQ QuestionPageExperiment_external-widget__y7v8o"><h2 class="RecommendationWidget_recommendation-widget-title__k4yYT pd-heading-md">Outros materiais</h2><ul class="RecommendationWidget_recommendation-widget-list__RtMzA RecommendationWidget_blurred-in-responsive__aOBOB"><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/134314904/l-ista-exercicios-para-p-2-vga">LIsta Exercicios para P2 VGA</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/125438578/guia-tecnico-de-enderecamento-de-correspondencias">guia-tecnico-de-enderecamento-de-correspondencias</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/123150687/fundamentos-de-sistemas-de-informacao">Fundamentos de Sistemas de Informação</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/120294812/minha-biblioteca-2019-10-sagah-clientes">minha-biblioteca-2019-10-sagah-clientes</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/117451169/soma-de-vetores-exercicios">Soma de vetores exercícios</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/arquivo/117451165/vetores-soma-subtracao-e-decomposicao-exercicios">Vetores soma, subtração e decomposição Exercícios</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138646640/a-demanda-de-transporte-tem-como-caracteristica-ser-altamente-diferenciada-ou-se">A demanda de transporte tem como característica ser altamente diferenciada, ou seja, ela pode variar com a hora do dia, com o dia da semana, propós...</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138645117/como-no-caso-da-elipse-podemos-identificar-diversos-elementos-que-podem-auxiliar">Como no caso da elipse, podemos identificar diversos elementos que podem auxiliar na caracterização da parábola, demonstrado na ilustração a seguir...</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138644730/qual-e-o-baricentro-do-triangulo-de-vertices-a-3-2-b-1-6-e-c-5-2">Qual é o baricentro do triângulo de vértices A(-3, -2), B(1, 6) e C(5, 2)?</a></li><li class="pd-paragraph-sm 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Seuresultado difere do produto escalar por ser também...</a></li><li class="pd-paragraph-sm RecommendationWidget_recommendation-widget-item__qopaC"><a href="/pergunta/138637192/o-produto-vetorial-e-de-grande-utilidade-para-a-fisica-para-analisar-o-comportam">O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento noeletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. ...</a></li></ul></section></div></div><footer class="NewFooter_footer-container__o19O4 QuestionPageExperiment_question-footer-outside__0jJ7p "><div class="NewFooter_footer-wrapper__a02_c"><div class="NewFooter_footer-logos__0gBO7"><svg width="166" height="30" viewBox="0 -1 166 29" fill="none" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" class="NewFooter_pd-logo__eQpKC"><title>Logo Passei Direto</title><path data-testid="svg-path-test" fill-rule="evenodd" clip-rule="evenodd" d="M39.3047 24.918H40.7912L40.7977 19.6191C41.0564 19.8357 41.4746 20.0581 42.0481 20.299C42.6993 20.5478 43.3869 20.6686 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Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. 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A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de geometria analítica para modelar e resolver problemas em suas respectivas áreas de atuação.","MaterialAggregatorType":1},{"Id":700392,"Name":"Química","Alias":"quimica","LanguageId":1,"FollowerCount":5563852,"MaterialCount":189160,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/quimica_20180802180632.png","Summary":"A Química é a ciência que estuda a composição, estrutura, propriedades e transformações da matéria. Durante as aulas, os alunos aprendem sobre os diferentes tipos de substâncias químicas, suas reações e aplicações. A disciplina é importante para diversas áreas, como a indústria, a medicina, a agricultura e a tecnologia. 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Durante as aulas, os alunos aprendem sobre álgebra, geometria, trigonometria, cálculo e outras áreas da Matemática. A disciplina é importante para o desenvolvimento do raciocínio lógico e abstrato, além de ser fundamental para diversas áreas do conhecimento, como Física, Engenharia, Economia e Ciência da Computação. 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Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. O conhecimento em Geometria Analítica é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculo e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"Como no caso da elipse, podemos identificar diversos elementos que podem auxiliar na caracterização da parábola, demonstrado na ilustração a seguir. Diretriz Fonte: BARBA, Alessandra Negrini Dalla. Geometria Analítica: Estudo da Parábola. Anhanguera, 2017. Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso: ( ) Foco: corresponde ao ponto d. ( ) Diretriz: refere-se à reta f. ( ) Eixo: reta que passa por F e é perpendicular à diretriz d. ( ) Vértice: corresponde ao ponto V de interseção da parábola com seu eixo. Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: Selecione uma alternativa: a) V – F – V – F. b) V – V – V – F. c) F – F – V – F. d) V – F – F – F. e) F – F – V – V.","AnswersCount":1,"PremiumAnswerId":null,"ModerationType":0},"MainSubject":{"Id":669662,"Name":"Geometria Analítica","Alias":"geometria-analitica","LanguageId":1,"FollowerCount":713914,"MaterialCount":42015,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/geometria-analitica.png","Summary":"Geometria Analítica é uma disciplina da matemática que estuda as figuras geométricas por meio de ferramentas algébricas. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. O conhecimento em Geometria Analítica é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculo e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}},"contentSourceAlgorithm":"MaterialAggregator/Subjects/Questions/New"},{"recommendedContent":{"Id":138644730,"ThumbnailUrl":null,"Name":"Qual é o baricentro do triângulo de vértices A(-3, -2), B(1, 6) e C(5, 2)?","Description":null,"CreationDate":"2024-04-23T22:42:48.605Z","DeletedDate":null,"MaterialTypeId":8,"PositiveEvaluationCount":0,"NegativeEvaluationCount":0,"CommentCount":0,"ContentViewCount":0,"EngagementViewCount":0,"Period":null,"IsPremium":false,"Deleted":false,"IsIndexableSEO":true,"ContentObjectTypeId":8,"MaterialCategory":{"Id":7,"Name":"Other"},"MaterialFormat":{"Id":1,"Name":"Text"},"User":{"Id":135560433,"CountryId":1,"ImageUrl":"https://images.passeidireto.com/user_picture/135560433/picture/96bf32a4-b998-4578-82f9-9bbfaeb73fe6/picture.large","ImagePath":"https://images.passeidireto.com/user_picture/135560433/picture/96bf32a4-b998-4578-82f9-9bbfaeb73fe6/picture","CoverUrl":null,"Description":null,"UserRoleId":2,"IsVerified":false,"AssociatedProducerIsVerified":false,"UserStatusId":2,"Active":true,"RegisterDate":"2024-03-19T00:20:52.000Z","Name":"joao pedro","FullName":"joao pedro","Alias":null,"StudentBasicInfo":{"StudentDegreeLevelId":4,"StudentTypeId":3,"Course":{"Id":1199555,"Name":"Engenharia Elétrica"},"Area":{"Id":59764188,"Name":"Engenharias"},"University":{"Id":1614530,"UniversityShortName":"UNINTER","UniversityName":"Centro Universitário UNINTER"}},"Language":{"Id":1,"Codex":"pt"}},"Language":{"Id":1,"Name":"pt-br","Codex":"pt"},"Country":{"Id":1,"Name":"Brasil","Codex":"1"},"StudentType":{"Id":3,"Name":"Graduate"},"StudentDegreeLevel":{"Id":4,"Name":"Graduate"},"University":{"Id":1614530,"Name":"Centro Universitário UNINTER","ShortName":"UNINTER"},"Course":{"Id":1199555,"Name":"Engenharia Elétrica"},"Area":{"Id":59764188,"Name":"Engenharias"},"NormalizedName":"qual-e-o-baricentro-do-triangulo-de-vertices-a-3-2-b-1-6-e-c-5-2","Tags":[],"Subjects":[{"Id":669662,"Name":"Geometria Analítica","Alias":"geometria-analitica","LanguageId":1,"FollowerCount":713914,"MaterialCount":42014,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/geometria-analitica.png","Summary":"Geometria Analítica é uma disciplina da matemática que estuda as figuras geométricas por meio de ferramentas algébricas. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. 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Durante as aulas, os alunos aprendem sobre sistemas de coordenadas, vetores no plano e no espaço, operações com vetores, retas e planos, além de tópicos como curvas e superfícies. A disciplina é importante para estudantes de áreas como Engenharia, Física e Matemática, que precisam de conhecimentos sólidos em geometria e cálculo para resolver problemas práticos e teóricos em suas áreas de atuação.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"Considerando uma elipse com centro na origem, focos num dos eixos coordenados e passando pelos pontos (5, 0) e (0, 13), determine os focos da elipse. Assinale a alternativa correta: Alternativas: a) (13, 0) e (– 13, 0). b) (0, 13) e (0, – 13). c) (5, 0) e (– 5, 0). d) (12, 0) e (– 12, 0). e) (0, 12) e (0, – 12).","AnswersCount":1,"PremiumAnswerId":null,"ModerationType":0},"MainSubject":{"Id":738317,"Name":"Cálculo Vetorial e Geometria Analítica","Alias":"calculo-vetorial-e-geometria-analitica","LanguageId":1,"FollowerCount":86468,"MaterialCount":5390,"ThumbnailUrl":"","Summary":"Cálculo Vetorial e Geometria Analítica é uma disciplina que estuda as propriedades geométricas do espaço e as operações matemáticas que podem ser realizadas com vetores. Durante as aulas, os alunos aprendem sobre sistemas de coordenadas, vetores no plano e no espaço, operações com vetores, retas e planos, além de tópicos como curvas e superfícies. A disciplina é importante para estudantes de áreas como Engenharia, Física e Matemática, que precisam de conhecimentos sólidos em geometria e cálculo para resolver problemas práticos e teóricos em suas áreas de atuação.","MaterialAggregatorType":1}},"contentSourceAlgorithm":"MaterialAggregator/Subjects/Questions/New"},{"recommendedContent":{"Id":138638722,"ThumbnailUrl":null,"Name":"Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. 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Durante as aulas, os alunos aprendem a representar figuras geométricas no plano e no espaço através de equações algébricas, além de estudar conceitos como vetores, matrizes e sistemas lineares. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação, pois permite a resolução de problemas complexos através de métodos matemáticos. O conhecimento em Geometria Analítica e Álgebra Linear é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculos e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um espaço vetorial. Seuresultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao invés de um escalar. Seu principal usobaseia-se no fato de que o resultado de um produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetoresoriginais. Quanto ao resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as opçõesverdadeiras e F para as falsas: ( ) u x v = -2. ( ) u x v = -1. ( ) u x v = 0. ( ) u x v = 1. Assinale a alternativaque apresenta a sequência CORRETA:","AnswersCount":1,"PremiumAnswerId":null,"ModerationType":0},"MainSubject":{"Id":685244,"Name":"Geometria Analítica e Álgebra Linear","Alias":"geometria-analItica-e-Algebra-linear","LanguageId":1,"FollowerCount":51823,"MaterialCount":11036,"ThumbnailUrl":"","Summary":"Geometria Analítica e Álgebra Linear é uma disciplina que estuda a relação entre a geometria e a álgebra. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar figuras geométricas no plano e no espaço através de equações algébricas, além de estudar conceitos como vetores, matrizes e sistemas lineares. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação, pois permite a resolução de problemas complexos através de métodos matemáticos. O conhecimento em Geometria Analítica e Álgebra Linear é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculos e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}},"contentSourceAlgorithm":"MaterialAggregator/Subjects/Questions/New"},{"recommendedContent":{"Id":138637192,"ThumbnailUrl":null,"Name":"O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento noeletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. ...","Description":null,"CreationDate":"2024-04-23T21:42:08.280Z","DeletedDate":null,"MaterialTypeId":8,"PositiveEvaluationCount":0,"NegativeEvaluationCount":0,"CommentCount":0,"ContentViewCount":0,"EngagementViewCount":0,"Period":null,"IsPremium":false,"Deleted":false,"IsIndexableSEO":true,"ContentObjectTypeId":8,"MaterialCategory":{"Id":7,"Name":"Other"},"MaterialFormat":{"Id":1,"Name":"Text"},"User":{"Id":116442053,"CountryId":1,"ImageUrl":"https://images.passeidireto.com/user_picture/116442053/picture/66b4606d-dd5d-425f-97db-e5763b90a3a6/picture.large","ImagePath":"https://images.passeidireto.com/user_picture/116442053/picture/66b4606d-dd5d-425f-97db-e5763b90a3a6/picture","CoverUrl":null,"Description":null,"UserRoleId":2,"IsVerified":false,"AssociatedProducerIsVerified":false,"UserStatusId":2,"Active":true,"RegisterDate":"2022-12-05T22:28:55.000Z","Name":"Cristiane Caetano de Jesus","FullName":"Cristiane Caetano de Jesus","Alias":"335902-cristiane-caetanode-jesus","StudentBasicInfo":{"StudentDegreeLevelId":4,"StudentTypeId":3,"Course":{"Id":1199631,"Name":"Gestão da Produção Industrial"},"Area":{"Id":59764193,"Name":"Humanas / Sociais"},"University":{"Id":1614530,"UniversityShortName":"UNINTER","UniversityName":"Centro Universitário UNINTER"}},"Language":{"Id":1,"Codex":"pt"}},"Language":{"Id":1,"Name":"pt-br","Codex":"pt"},"Country":{"Id":1,"Name":"Brasil","Codex":"1"},"StudentType":{"Id":3,"Name":"Graduate"},"StudentDegreeLevel":{"Id":4,"Name":"Graduate"},"University":{"Id":1614530,"Name":"Centro Universitário UNINTER","ShortName":"UNINTER"},"Course":{"Id":1199631,"Name":"Gestão da Produção Industrial"},"Area":{"Id":59764193,"Name":"Humanas / Sociais"},"NormalizedName":"o-produto-vetorial-e-de-grande-utilidade-para-a-fisica-para-analisar-o-comportam","Tags":[],"Subjects":[{"Id":669662,"Name":"Geometria Analítica","Alias":"geometria-analitica","LanguageId":1,"FollowerCount":713909,"MaterialCount":42013,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/geometria-analitica.png","Summary":"Geometria Analítica é uma disciplina da matemática que estuda as figuras geométricas por meio de ferramentas algébricas. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. O conhecimento em Geometria Analítica é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculo e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}],"SpecificDetails":{"Text":"O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento noeletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o produto vetorial aplica-se avetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no qual o produto entre dois vetores tem como soluçãoum novo vetor, simultaneamente ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v)entre os vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: I- u x v = (1,8,-4). II- u x v = (0,8,4).III- u x v = (0,-8,4). IV- u x v = (0,8,-4). Assinale a alternativa CORRETA: A ) Somente a opção II está correta. B ) Somente a opção IV está correta. C ) Somente a opção I está correta. D ) Somente a opção III está correta.","AnswersCount":1,"PremiumAnswerId":null,"ModerationType":0},"MainSubject":{"Id":669662,"Name":"Geometria Analítica","Alias":"geometria-analitica","LanguageId":1,"FollowerCount":713909,"MaterialCount":42013,"ThumbnailUrl":"https://content.passeidireto.com/Thumbnails/Subjects/geometria-analitica.png","Summary":"Geometria Analítica é uma disciplina da matemática que estuda as figuras geométricas por meio de ferramentas algébricas. Durante as aulas, os alunos aprendem a representar pontos, retas e planos em um sistema de coordenadas cartesianas, além de estudar as equações que descrevem essas figuras. A disciplina é importante para diversas áreas, como engenharia, física e computação gráfica, que utilizam conceitos de Geometria Analítica para modelar e resolver problemas em três dimensões. O conhecimento em Geometria Analítica é fundamental para quem deseja seguir carreira nessas áreas ou em outras que envolvam cálculo e modelagem matemática.","MaterialAggregatorType":1}},"contentSourceAlgorithm":"MaterialAggregator/Subjects/Questions/New"}],"answers":[{"Id":54067019,"Text":"\u003cp\u003eÉ su estudar mais que vai achar a resposta.\u003c/p\u003e\n","CreationDate":"2018-09-26T13:46:36.609Z","NegativeEvaluationCount":0,"PositiveEvaluationCount":0,"IsPremium":null,"IsAI":false,"User":{"Id":41737996,"Alias":"815443-lucio-junior","ImageUrl":"https://images.passeidireto.com/user_picture/41737996/picture/75d78e88-5a5d-4aad-8f64-5026dfd213e7/picture.large","Name":"Lucio Junior","FullName":"Lucio Junior","IsVerified":false}},{"Id":60784267,"Text":"\u003cp\u003eNesse exerc\u0026iacute;cio vamos estudar simetria tridimensional.\u003c/p\u003e\n\n\u003chr /\u003e\n\u003cp\u003eTemos o plano\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003e\u0026nbsp;\u003c/p\u003e\n\n\u003cdiv class=\"MathJax_Display\" style=\"text-align: center;\"\u003e\u003cspan class=\"MathJax\" data-mathml=\"\u0026lt;math xmlns=\u0026quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML\u0026quot; display=\u0026quot;block\u0026quot;\u0026gt;\u0026lt;mrow\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;4\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;y\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;−\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;2\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;z\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;+\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;3\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;=\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;0\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;/mrow\u0026gt;\u0026lt;/math\u0026gt;\" id=\"MathJax-Element-1-Frame\" role=\"presentation\" style=\"position:relative; text-align:center\" tabindex=\"0\"\u003e\u003cspan class=\"MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block\" role=\"presentation\"\u003e\u003cmath display=\"\u0026quot;block\u0026quot;\" xmlns=\"\u0026quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML\u0026quot;\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmn\u003e4\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003ey\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e\u0026minus;\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e2\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003ez\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e+\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e3\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e0\u003c/mn\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cscript id=\"MathJax-Element-1\" type=\"math/tex; mode=display\"\u003e4y-2z+3=0\u003c/script\u003e\n\u003cp\u003e\u0026nbsp;\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003eE o ponto\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003e\u0026nbsp;\u003c/p\u003e\n\n\u003cdiv class=\"MathJax_Display\" style=\"text-align: center;\"\u003e\u003cspan class=\"MathJax\" data-mathml=\"\u0026lt;math xmlns=\u0026quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML\u0026quot; display=\u0026quot;block\u0026quot;\u0026gt;\u0026lt;mrow\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;P\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;=\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;(\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;1\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;,\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;1\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;,\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;1\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;)\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;/mrow\u0026gt;\u0026lt;/math\u0026gt;\" id=\"MathJax-Element-1-Frame\" role=\"presentation\" style=\"position:relative; text-align:center\" tabindex=\"0\"\u003e\u003cspan class=\"MJX_Assistive_MathML MJX_Assistive_MathML_Block\" role=\"presentation\"\u003e\u003cmath display=\"\u0026quot;block\u0026quot;\" xmlns=\"\u0026quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML\u0026quot;\"\u003e\u003cmrow\u003e\u003cmi\u003eP\u003c/mi\u003e\u003cmo\u003e=\u003c/mo\u003e\u003cmo\u003e(\u003c/mo\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e,\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmi\u003e,\u003c/mi\u003e\u003cmn\u003e1\u003c/mn\u003e\u003cmo\u003e)\u003c/mo\u003e\u003c/mrow\u003e\u003c/math\u003e\u003c/span\u003e\u003c/span\u003e\u003c/div\u003e\n\u003cscript id=\"MathJax-Element-1\" type=\"math/tex; mode=display\"\u003eP=(1,1,1)\u003c/script\u003e\n\u003cp\u003e\u0026nbsp;\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003eQueremos o ponto sim\u0026eacute;trico de $P$ em rela\u0026ccedil;\u0026atilde;o ao plano.\u003c/p\u003e\n\n\u003chr /\u003e\n\u003cp\u003eBasicamente o que queremos \u0026eacute; um ponto que esteja na mesma reta perpendicular ao plano que passe por $P$. O vetor diretor dessa reta \u0026eacute; o vetor normal ao plano, ou seja, o vetor composto pelos coeficientes da equa\u0026ccedil;\u0026atilde;o do plano:\u003c/p\u003e\n\n\u003cp\u003e\u0026nbsp;\u003c/p\u003e\n\n\u003cdiv class=\"MathJax_Display\" style=\"text-align: center;\"\u003e\u003cspan class=\"MathJax\" data-mathml=\"\u0026lt;math xmlns=\u0026quot;http://www.w3.org/1998/Math/MathML\u0026quot; display=\u0026quot;block\u0026quot;\u0026gt;\u0026lt;mrow\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;⃑\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mrow\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;n\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;/mrow\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;=\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;(\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;0\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;,\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;4\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mi\u0026gt;,\u0026lt;/mi\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;−\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;mn\u0026gt;2\u0026lt;/mn\u0026gt;\u0026lt;mo\u0026gt;)\u0026lt;/mo\u0026gt;\u0026lt;/mrow\u0026gt;\u0026lt;/math\u0026gt;\" id=\"MathJax-Element-1-Frame\" role=\"presentation\" style=\"position:relative; 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O vetor diretor dessa reta \u0026#233; o vetor normal ao plano, ou seja, o vetor composto pelos coeficientes da equa\u0026#231;\u0026#227;o do plano:\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003e$$\\vec{n}=(0,4,-2)$$\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003chr/\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003eCom esse vetor normal, podemos escrever a equa\u0026#231;\u0026#227;o vetorial da reta:\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003e$$X=P+t\\vec{n}=(1,1,1)+(0,4t,-2t)=(1,1+4t,1-2t)$$\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003chr/\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003eSubstituindo na equa\u0026#231;\u0026#227;o do plano, obtemos o valor de $t$ para o qual a reta cruza o plano:\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003e$$4(1+4t)-2(1-2t)+3=0\\Rightarrow t=-\\dfrac14$$\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003chr/\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003eSe para $t=0$ temos $X=P$ e para $t=-\\frac14$ temos o plano, ent\u0026#227;o para o ponto sim\u0026#233;trico temos $t=-\\frac12$:\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003e$$sim(P)=(1,1+4/2,1-2/2)$$\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e\u003cp\u003e\u003cspan style=\"font-size:12pt\"\u003e$$\\boxed{sim(P)=(1,3,0)}$$\u003c/span\u003e\u003c/p\u003e","CreationDate":"2019-02-19T13:17:06.000Z","NegativeEvaluationCount":0,"PositiveEvaluationCount":0,"IsPremium":null,"IsAI":false,"User":{"Id":59553038,"Alias":"762543-andre-smaira","ImageUrl":"https://resources.passeidireto.com/core/student_profile_images/profile-default.gif","Name":"Andre Smaira","FullName":"Andre Smaira","IsVerified":false}}],"premiumAnswer":null,"_nextI18Next":{"initialI18nStore":{"pt-BR":{"common":{"aMonthBefore":"Há mais de um mês","acceptTermsText":"Ao continuar, você aceita os ","alreadyHaveResgitration":"Já tem cadastro?","alreadyRegistered":"Já tem um perfil?","amountOfSomething":"{{amount}} {{unit}} de {{entity}}","and":"e","answeredByVerifiedProducer":"Respondida por Produtor Verificado","appStoreReviewText":"{{reviewCount}} avaliações","appStoreReviewTitle":"Passei Direto para {{storeName}}","appStoreText":"App Store","appUnavailable":{"promoteDesktopUsage":"Para aproveitar este e mais materiais de estudo visite {{hostname}} no seu computador!","promoteDesktopUsageProfile":"Acesse {{hostname}}\u003cbr\u003eno seu computador, crie seu perfil gratuito e aproveite milhares de materiais para estudar o que quiser!","warning":"Por hora, {{siteName}} não está disponível para seu celular."},"bePartOfTheLargestStudyingNetwork":"Faça parte da maior rede de estudos do {{countryName}}","bePremium":"Seja Premium","brazil":"Brasil","cancel":"Cancelar","chatbot":{"subTitle":["É a sua primeira vez aqui? 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