A equação é a seguinte:

\(\sqrt[7]{y^6} + \frac{7 \sin x}{\log x^8} = 800\)

Que pode ser reescrita simplificadamente como:

\(y^{\frac{6}{7}} + \frac{7 \sin x}{8 \log x} = 800\)

A raiz sétima foi escrita como expoente. Foi aplicada também a "regra do Tombo" de logaritmos.

Questão 8)

A derivada com relação à variável x é implicitamente dada tomando a derivada nos dois lados da igualdade. No caso do seno dividido pelo logaritmo, usamos a regra do quociente para derivadas:

\(\frac{6}{7} y^{-\frac{1}{7}} \frac{dy}{dx} + \frac{7}{8}(\frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{[\log x]^2}) = 0 \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = - \frac{7}{8(\frac{6}{7} y^{-\frac{1}{7}})}(\frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{[\log x]^2})}\)

Normalmente há muita preocupação dos alunos quanto à simplificação das expressões. A menos que seja explicitamente pedido, não é necessária essa simplificação.

Questão 9)

De modo análogo:

\(\frac{6}{7} y^{-\frac{1}{7}} + \frac{7}{8}(\frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{[\log x]^2}) \frac{dx}{dy} = 0 \\ \boxed{\frac{dx}{dy} = \frac{-\frac{6}{7} y^{-\frac{1}{7}}}{ \frac{7}{8}(\frac{\cos x \log x - \sin x \cdot \frac{1}{x}}{[\log x]^2})}}\)

Que é o esperado pela simples inversão da expressão da Questão 8.