Integral de X^2 . raiz quadrada de 3-2x

∫x²*√3-2x dx = [x²*(2x-3)*√3-2x] / 7 - [6*(x+1)*√(3-2x)³] / 35

∫x²dx= 3x/3+constante. ∫(3-2x)^½dx  = -1/3(3-2x)^3/2 + constante. O segundo é feito através da regra da cadeia.

Bom dia.

Resolução:

∫√3-2x x² dx                      u=3-2x/ -2x=-u+3 (-1)/ 2x= u-3, logo x=u-3/2

∫(3-2x)½  x² dx                  du= 0-2dx/ du=-2dx/ dx=du/-2

∫(u)½ .(u-3/2)² du/-2

∫(u)½ . (u-3/2 . u-3/2) du/-2

∫(u)½ . (u² -6u +9)/4 du/-2  (PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA EM "u-3/2")

∫(u½ . u²/4) - (u½ . 6u/4) + (u½. 9/4) du/-2 (DENOMINADOR 4 PARA TODOS OS TERMOS)

∫((u^5/2 /4 . du/-2) - (6u^3/2 /4 . du/-2) + (9u^1/2 /4 . du/-2))

(TODOS MULTIPLICANDO POR du/-2)

∫(u^5/2 /-8 du) - ∫(6u^3/2 /-8 du) + ∫(9u^1/2 /-8 du) 

(DENOMINADOR 4 MULTIPLICANDO POR DENOMINADOR -2 DE du)

-1/8 .∫(u^5/2 du) - (-1/8)∫(6u^3/2 du) + (-1/8)∫(9u^1/2 du)

-1/8 .∫(u^5/2 du) + 1/8. 6∫(u^3/2 du) - 1/8. 9∫(u^1/2 du)

(SEPARANDO AS CONSTANTES)

-1/8 (u^5/2 +1)/(5/2+1)  + 6/8 (u^3/2+1)/(3/2+1) - 9/8 (u^1/2+1)/(1/2+1) + k

(APLICANDO O PADRAO PARA A INTEGRAL)

∫u^n . du = u^n+1/n+1

-1/8 (u)^7/2/(7/2) + 6/8(u)^5/2 / (5/2) -9/8 (u)^3/2 /(3/2) + k

-1/8*2/7(u^7/2) + 6/8*2/5 (u^5/2) -9/8*2/3 (u^3/2) + k

-2/56 (u^7/2) + 12/40 (u^5/2) - 18/24(u^3/2) + k

(SIMPLIFICANDO EM FATORES COMUNS)

-1/28(u^7/2) + 3/10(u^5/2)- 3/4(u^3/2) + k

(SUBSTITUINDO U = 3-2X)

-1/28(3-2X)^7/2 + 3/10(3-2X)^5/2 - 3/4(3-2X)^3/2 + K

ORDENANDO EM GRAU CRESCENTE:

- 3/4(3-2X)^3/2 + 3/10(3-2X)^5/2 -  1/28(3-2X)^7/2

DEIXANDO AINDA MAIS ELEGANTE O RESULTADO:

- 3/4√(3-2X)^3 + 3/10√(3-2X)^5 -1/28√(3-2X)^7

EXERCICIO 5.2 - 19- pag. 302do livro "O Calculo com Geometria Analitica" 3ª edição

Louis Leithold

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