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Encontre a solução usando o método de Newton - sistemas transcedentes:

x+y-1=0

x-√y+2=0

 

com x0=-1   e y0=2

💡 5 Respostas

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Andre Smaira

Nesse exercício vamos estudar resolução de sistema de equações pelo método de Newton.


Tal método é definido pelo seguinte:

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-J_F^{-1}(x^{(k)})F(x^{(k)})$$

Onde o sistema de equações é representado por $F(x)$:

$$F(x,y)=\begin{pmatrix}x+y-1\\x-\sqrt{y}+2\end{pmatrix}$$

E $J_F(x)$ é o jacobiano da função:

$$J_F(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x}&\dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\\\\dfrac{\partial f_2}{\partial x}&\dfrac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-\dfrac{1}{2\sqrt y}\end{pmatrix}$$

Para a inversa, temos:

$$J_F^{-1}(x,y)=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2\sqrt y}&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$

Multiplicando pela função vetorial, temos:

$$J_F^{-1}(x,y)F(x,y)=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2\sqrt y}&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x+y-1\\x-\sqrt{y}+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{x}{2\sqrt y}+\dfrac{\sqrt y}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt y}-x-2\\-y-\sqrt{y}+3\end{pmatrix}$$


De forma que a recorrência é a seguinte:

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{(k)}\\y^{(k)}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{x^{(k)}}{2\sqrt{y^{(k)}}}+\dfrac{\sqrt{y^{(k)}}}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{y^{(k)}}}-x^{(k)}-2\\-y^{(k)}-\sqrt{y^{(k)}}+3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{x^{(k)}}{2\sqrt{y^{(k)}}}-\dfrac{\sqrt{y^{(k)}}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{y^{(k)}}}+2x^{(k)}+2\\\\2y^{(k)}+\sqrt{y^{(k)}}-3\end{pmatrix}$$


Mas da primeira equação, temos:

$$x=1-y$$

De forma que:

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(k)}-\sqrt{y^{(k)}}+4\\2y^{(k)}+\sqrt{y^{(k)}}-3\end{pmatrix}$$

Como não é definida a precisão, vamos usar três casas decimais. Para começar, temos:

$$\begin{pmatrix}x^{(0)}\\y^{(0)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}x^{(1)}\\y^{(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(0)}-\sqrt{y^{(0)}}+4\\2y^{(0)}+\sqrt{y^{(0)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1.41421\\2.41421\end{pmatrix}$$


De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(1)}-x^{(0)}||=0.585786>0.001$$

A seguir:

$$\begin{pmatrix}x^{(2)}\\y^{(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(1)}-\sqrt{y^{(1)}}+4\\2y^{(1)}+\sqrt{y^{(1)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2.38220\\3.382201\end{pmatrix}$$

De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(2)}-x^{(1)}||=1.36894>0.001$$

Continuando:

$$\begin{pmatrix}x^{(3)}\\y^{(3)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(2)}-\sqrt{y^{(2)}}+4\\2y^{(2)}+\sqrt{y^{(2)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2.38220\\3.382201\end{pmatrix}$$

De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(2)}-x^{(1)}||=1.36894>0.001$$

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Andre Smaira

Cálculo Numérico


Nesse exercício vamos estudar resolução de sistema de equações pelo método de Newton.


Tal método é definido pelo seguinte:

$$x^{(k+1)}=x^{(k)}-J_F^{-1}(x^{(k)})F(x^{(k)})$$

Onde o sistema de equações é representado por $F(x)$:

$$F(x,y)=\begin{pmatrix}x+y-1\\x-\sqrt{y}+2\end{pmatrix}$$

E $J_F(x)$ é o jacobiano da função:

$$J_F(x,y)=\begin{pmatrix}\dfrac{\partial f_1}{\partial x}&\dfrac{\partial f_1}{\partial y}\\\\\dfrac{\partial f_2}{\partial x}&\dfrac{\partial f_2}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&1\\1&-\dfrac{1}{2\sqrt y}\end{pmatrix}$$

Para a inversa, temos:

$$J_F^{-1}(x,y)=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2\sqrt y}&-1\\-1&1\end{pmatrix}$$

Multiplicando pela função vetorial, temos:

$$J_F^{-1}(x,y)F(x,y)=\begin{pmatrix}-\dfrac{1}{2\sqrt y}&-1\\-1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x+y-1\\x-\sqrt{y}+2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\dfrac{x}{2\sqrt y}+\dfrac{\sqrt y}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt y}-x-2\\-y-\sqrt{y}+3\end{pmatrix}$$


De forma que a recorrência é a seguinte:

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x^{(k)}\\y^{(k)}\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}-\dfrac{x^{(k)}}{2\sqrt{y^{(k)}}}+\dfrac{\sqrt{y^{(k)}}}{2}+\dfrac{1}{2\sqrt{y^{(k)}}}-x^{(k)}-2\\-y^{(k)}-\sqrt{y^{(k)}}+3\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\dfrac{x^{(k)}}{2\sqrt{y^{(k)}}}-\dfrac{\sqrt{y^{(k)}}}{2}-\dfrac{1}{2\sqrt{y^{(k)}}}+2x^{(k)}+2\\\\2y^{(k)}+\sqrt{y^{(k)}}-3\end{pmatrix}$$


Mas da primeira equação, temos:

$$x=1-y$$

De forma que:

$$\begin{pmatrix}x^{(k+1)}\\y^{(k+1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(k)}-\sqrt{y^{(k)}}+4\\2y^{(k)}+\sqrt{y^{(k)}}-3\end{pmatrix}$$

Como não é definida a precisão, vamos usar três casas decimais. Para começar, temos:

$$\begin{pmatrix}x^{(0)}\\y^{(0)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}$$

$$\begin{pmatrix}x^{(1)}\\y^{(1)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(0)}-\sqrt{y^{(0)}}+4\\2y^{(0)}+\sqrt{y^{(0)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1.41421\\2.41421\end{pmatrix}$$


De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(1)}-x^{(0)}||=0.585786>0.001$$

A seguir:

$$\begin{pmatrix}x^{(2)}\\y^{(2)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(1)}-\sqrt{y^{(1)}}+4\\2y^{(1)}+\sqrt{y^{(1)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2.38220\\3.382201\end{pmatrix}$$

De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(2)}-x^{(1)}||=1.36894>0.001$$

Continuando:

$$\begin{pmatrix}x^{(3)}\\y^{(3)}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2y^{(2)}-\sqrt{y^{(2)}}+4\\2y^{(2)}+\sqrt{y^{(2)}}-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2.38220\\3.382201\end{pmatrix}$$

De forma que o erro é:

$$\varepsilon=||x^{(2)}-x^{(1)}||=1.36894>0.001$$

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