Há dois métodos de resolver essa questão:
1 - Tu pode tentar substituição trigonométrica, atribuindo x = sec u, daí deriva e faz as substituições;
2 - Tenta dividir aquela função da integral em frações parciais, depois disso tu calcula cada integral separada fazendo as devidas substituições e junta tudo no final. É cansativo, vai dar um pouquinho de trabalho e provavelmente vai gastar umas duas folhas do caderno ou mais, mas sai de boa.
Para encontrar a integral da função dada, devemos realizar os cálculos abaixo:
\(\begin{align} & \int_{{}}^{{}}{f}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{(x+1)}^{2}}{{(x-1)}^{2}}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{4(x+1)}+\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{4{{(x+1)}^{2}}}-\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{4(x-1)}+\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{4{{(x-1)}^{2}}}}}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\int_{{}}^{{}}{\frac{1}{u}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\frac{1}{{{u}^{2}}} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\frac{\ln (x+1)}{4}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{\ln (x-1)}{4}-\frac{1}{4(x-1)} \\ & \int_{{}}^{{}}{\frac{1}{{{({{x}^{2}}-1)}^{2}}}}=\frac{\ln (x+1)}{4}-\frac{1}{4(x+1)}-\frac{\ln (x-1)}{4}-\frac{1}{4(x-1)}+C \\ \end{align}\ \)
Portanto, a integral será:
\(\boxed{\int_{}^{} {\frac{1}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}} = \frac{{\ln \left( {x + 1} \right)}}{4} - \frac{1}{{4\left( {x + 1} \right)}} - \frac{{\ln \left( {x - 1} \right)}}{4} - \frac{1}{{4\left( {x - 1} \right)}} + C}\)
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