Questao 19 do livro cálculo a cap 3.10 : Lim h-> -4 (raiz(2(h^2-8))+h)/(h+4)

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { \sqrt{2(h^2-8)} + h \over h+4}\)

Pode realizar a seguinte manipulação matemática:

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { \sqrt{2(h^2-8)} + h \over h+4} \cdot { \sqrt{2(h^2-8)} - h \over \sqrt{2(h^2-8)} - h}\)

Sabe-se que \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\). Sendo \(a = \sqrt{2(h^2-8)}\) e \(b=h\), o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { \Big (\sqrt{2(h^2-8)} \Big )^2 - h^2 \over (h+4)(\sqrt{2(h^2-8)} - h)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { 2(h^2-8) - h^2 \over (h+4)(\sqrt{2(h^2-8)} - h)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { 2h^2-16 - h^2 \over (h+4)(\sqrt{2(h^2-8)} - h)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { h^2-4^2 \over (h+4)(\sqrt{2(h^2-8)} - h)}\)

Sabe-se que \(a^2-b^2=(a+b)(a-b)\). Sendo \(a=h\) e \(b=4\), o limite fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { (h+4)(h-4) \over (h+4)(\sqrt{2(h^2-8)} - h)}\)

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} {h-4 \over \sqrt{2(h^2-8)} - h}\)

Substituindo o valor do limite, o resultado é:

\(\Longrightarrow \lim_{h \to -4} { \sqrt{2(h^2-8)} + h \over h+4} = \lim_{h \to -4} {h-4 \over \sqrt{2(h^2-8)} - h}\)

                                       \(= {-4-4 \over \sqrt{2((-4)^2-8)} - (-4)}\)

                                       \(= {-8 \over \sqrt{2(16-8)} +4}\)

                                       \(= {-8 \over \sqrt{16} +4}\)

                                       \(= {-8 \over 4 +4}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \lim_{h \to -4} { \sqrt{2(h^2-8)} + h \over h+4} =-1 $}\)

A resposta é -1. Você deve racionalizar o denominador.