geometria plana

Um cone de raio igual a 15 cm e altura igual a 20 cm está completamente cheio de água. Uma esfera de raio igual a 7 cm é colocada no interior do cone fazendo com que parte da água transborde. Responda as perguntas abaixo:

1. A esfera fica submersa ou parte dela fica fora d'água?

2. Se a esfera ficar submersa qual o volume de água que transbordou?

Obs:. O cone está com o vértice apoiado numa superfície plana.

Matemática

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UFRN

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Antônio Paulino Papinha

04.06.2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

20.06.2018

Vamos supor uma esfera de raio r que fique ao nível da base do cone.

Ver figura no anexo.

No triângulo OPV temos :

OV² = OP²+PV² ⇒ PV² = OV² - OP² ou PV² = (20-r)² - r²

Triângulo MNV é semelhante a triângulo OPV.

$\dfrac{MN}{MV} = \dfrac{OP}{VP} \Rightarrow \dfrac{15}{20} = \dfrac{r}{PV} \\ \\ \\ PV= \dfrac{20*r}{15} \Rightarrow PV= \dfrac{4*r}{3} \Rightarrow PV^{2} = \dfrac{16 r^{2} }{9}$

Igualando as expressões de PV² temos

$\dfrac{16 r^{2} }{9} = (20-r)^{2} - r^{2} \Rightarrow 16 r^{2} = 9 [ (20-r)^{2} - r^{2} ]\\ \\ \\ 16 r^{2}= 9 [ 400-40r+ r^{2} - r^{2} ] \\ \\ \\ 16 r^{2} =3600-360r \Rightarrow 16 r^{2} +360r-3600=0 \\ \\ \\ 2 r^{2}+45r-450=0 
$