expresse a função como a soma de uma série de potencias usando fraçoes parciais .encontre inter. de converg.

...

Vamos fatorar \(\:x^2-3x+2\)

\(x^2-3x+2=\quad \left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Assim:

\(=\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}\)

Criando um modelo:

\(\frac{x}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{a_0}{x-1}+\frac{a_1}{x-2}\)

\(\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{a_0\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}+\frac{a_1\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2}\)

\(\frac{x\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{a_0\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-1}+\frac{a_1\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{x-2}\)

Assim:

\(x=a_0\left(x-2\right)+a_1\left(x-1\right)\)

Para uma das raízes do denominador, 2, temos:

\(2=a_0\left(2-2\right)+a_1\left(2-1\right)\\ 2=a_1\)

Para a outra , no caso -1:

\(1=a_0\left(1-2\right)+a_1\left(1-1\right)\\ a_0=-1\)

\(\frac{\left(-1\right)}{x-1}+\frac{2}{x-2}=\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)

Olhando para essas duas parcelas vemos que ela é uma soma de uma série geométrica:

\(\frac{2}{x-2}\\ a=2\\ r=2\)

Podemos reescrevá-la : \(\sum _{n=0}^{\infty }\:\left(2\right).\left(2\right)^n=\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\:\left(2\right)^{n+1}\)

Da mesma forma:

\(\frac{1}{x-1}\\ a=1\\ r=1\)

\(\sum _{n=0}^{\infty }\:\left(1\right).\left(1\right)^n=\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\:\left(1\right)^{n+1}\)

Substituindo em : \(\frac{2}{x-2}-\frac{1}{x-1}\)temos:

\(\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\:\left(2\right)^{n+1}-\sum \:_{n=0}^{\infty \:}\:\left(1\right)^{n+1}=\boxed{\sum \:_{n=0}^{\infty \:}:\left(2\right)^{n+1}-\left(1\right)^{n+1}}\)