exercicio de calculo

Vai ter que usar a fórmula de máximos e mínimos. Deriva a função do volume do cone uma vez e resolve a equação, das raízes que você tiver, só jogar na fórmula e ver qual vai ter um volume maior.

Ou deriva a função do volume do cone duas vezes e o valor menor vai ser o de máximo.

Se não me engano é isso ai que tem que fazer.

Uma equação tem o seu maximo onde sua derivada = 0 

A equacao é o volume da tenda em funcao do angulo "alfa" 
esta equacao é = π (R alfa / 360)² √ [ R² - (R alfa / 360)² ] (*) 

A sua derivada é = π [ R (alfa / 360) ]² (1/6) [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] ^(-1/2) { - 2 R² alfa / 360² } + √ { R² - [ R (alfa / 360) ]² } / 3 {2 π [ R (alfa / 360) ] [ R / 360 ]} (**) 

Igualando a zero temos que alfa = 120 √6 (***) = 293,9387691° 

OBS: Este valor INDEPENDE do raio original (de 3m) 
ou seja para se construir um cone com o volume maximo, basta cortar um setor com angulo central de 294° 

(1) Equacao do volume da tenda (cone) em funcao de "alfa" 
R = raio da peca de lona (3m) 
r = raio da base da tenda. a base tem o perimetro igual ao comprimento do setor circular de angulo "alfa" 
h = altura da tenda 

volume = area base * altura /3 
...area base = π r² 
...altura = h 
volume = π r² h / 3 

calculo de r em funcao de R e alfa 
na tenda, R r e h formam um triangulo retangulo (reto em h e r) -> h² + r² = R² 
h = √ ( R² - r² ) 

volume = π r² h / 3 = π r² √ ( R² - r² ) / 3 (a) 

temos de calcular r em funcao de R e alfa 
- r é o perimetro da base da tenda = 2 π r (b) 
- este perimetro e o comprimento do setor circular = 2 π R (alfa / 360) (c) 
igualando (b) e (c) -> 2 π r = 2 π R (alfa / 360) -> r = R (alfa / 360) (d) 

substituindo (d) em (a) temos 
volume = π r² √ ( R² - r² ) / 3 = π [ R (alfa / 360) ]² √ [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] / 3 


(2) Derivando o volume da tenda, temos:

volume = π [ R (alfa / 360) ]² √ [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] / 3 
note que esta no formato uv onde : 
u = π [ R (alfa / 360) ]² 
v = √ { R² - [ R (alfa / 360) ]² } / 3 

derivada de uv = u dv + v du 
onde 
dv = { (1/2 ) [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] ^(-1/2) d { R² - [ R (alfa / 360) ]² } (1/3) 
.......= (1/6) [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] ^(-1/2) {0 - 2 [ R (alfa / 360) ] R/360} 
...... = (1/6) [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] ^(-1/2) { - 2 R² alfa / 360² } 

du = 2 π [ R (alfa / 360) ] [ R / 360 ] 

u dv + v du = π [ R (alfa / 360) ]² (1/6) [ R² - ( R (alfa/360) )² ] ^(-1/2) { - 2 R² alfa/360² } 
....................+ √ { R² - [ R (alfa / 360) ]² } (1/ 3) {2 π [ R (alfa / 360) ] [ R / 360 ]} 


(3) Igualando a derivada (2) a zero, temos:
π [ R (alfa / 360) ]² (1/6) [ R² - ( R (alfa / 360) )² ] ^(-1/2) { 2 R² alfa / 360² } = 
{ R² - [ R (alfa / 360) ]² } ^(1/2) / 3 {2 π [ R (alfa / 360) ] [ R / 360 ]} 

π [ R (alfa / 360) ]² (1/2) (1/3) { 2 R² alfa / 360² } = 
{ R² - [ R (alfa / 360) ]² } (1 / 3) {2 π [ R (alfa / 360) ] [ R / 360 ]} 

[ R (alfa / 360) ]² (1/2) { 2 R² alfa / 360² } = 
{ R² - [ R (alfa / 360) ]² } {2 [ R² (alfa / 360²) ] } 

[ R² (alfa / 360)² ] = 2 { R² - [ R (alfa / 360) ]² } 

(alfa / 360)² = 2 { 1 - (alfa / 360)² } 

(alfa / 360)² = 2 - 2 (alfa / 360)² } 

3 (alfa / 360)² = 2 

alfa ² = 2 360² / 3 

alfa = 360 √ (2/3) = 120 √ 6

Seja  o ângulo do sector circular medido em radianos. O comprimento  do arco do sector circular, de raio  , é igual a . O cone construido com este sector circular tem uma base circular cujo raio  é igual  e cuja altura  é igual a .

Sendo assim, o volume do cone é dado por

Como a derivada

tem os seguintes zeros: , excluindo a solução negativa, e estudando o sinal de , conclui-se que o máximo  ocorre para , a que corresponde  e . O seu valor é .