Como calcular a integral de -1 ate 4 da função raiz de x ?

Seja

\(\int _{-1}^4\:\sqrt{x}\)

Podemos reescrever como:

\(\int \:x^{\frac{1}{2}}dx\)

Aplicando a regra de integração \(\int x^adx=\frac{x^{a+1}}{a+1}\), temos:

\(\int \:x^{\frac{1}{2}}dx=\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}=\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}\)

Aplicando os limites:

\(\int _{-1}^4\sqrt{x}dx=\frac{2}{3}\cdot \:4^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}\left(-1\right)^{\frac{3}{2}}\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: =\frac{16}{3}-\left(-\frac{2i}{3}\right)\\ \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: =\frac{16}{3}+i\frac{2}{3}\)

Portanto:

\(\boxed{\int _{-1}^4\:\sqrt{x}=\frac{16}{3}+\frac{2i}{3}}\)