Prove que a soma dos quadados dos n primeiros numeros naturais é n(n + 1)(2n + 1) /6.
Boa tarde, Jermaine!
Para calcular, vamos primeiro calcular a soma dos n primeiros números naturais.
Cada termo será dado por ai, onde i é a posição/índice do termo. Então:
a1=1, a2=2, a3=3, an=n
A soma, pela fórmula de soma de P.A. (progressão aritmética) é:
Sn=(a1+an)xn/2=(1+n)n/2=(n+n²)/2
Blz. Iremos precisar dela depois :)
Agora façamos o seguinte:
(0+1)³=0³+3x0²x1+3x0x1²+1³
(1+1)³=1³+3x1²x1+3x1x1²+1³
(2+1)³=2³+3x2²x1+3x2x1²+1³
.
.
.
(n+1)³=n³+3xn²x1+3xnx1²+1³
Se somarmos agora todas as equações, teremos:
1³+2³+3³+…+(n+1)³=0³+1³+2³+3³+…+n³+3x(1²+2²+3²+…+n²)+3x(1+2+3+…+n)+(n+1)
Simplificando em ambos os lados, teremos:
(n+1)³=3xQn+3xSn+(n+1), onde Qn = soma dos quadrados dos n primeiros números naturais e Sn é a soma dos n primeiros números naturais.
Desenvolvendo e substituindo o Sn já calculado, teremos:
n³+3xn²x1+3xnx1²+1³=3xQn+3x((n+n²)/2)+(n+1)
n³+3n²+3n+1-n-1-3(n+n²)/2=3Qn Multiplicando tudo por 2, para facilitar:
2n³+6n²+6n+2-2n-2-3(n+n²)=6Qn
6Qn=2n³+3n²+n
Qn=n³/3+n²/2+n/6 ou
6Qn=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)
Qn=n(n+1)(2n+1)/6
Espero ter ajudado! :)
Exemplo de prova por indução:
para n = 1 , temos 1(1+1)*(2+1)/6 = (2*3)/6 = 1. Logo, para n = 1 é verdadeira.
Suponha que para k números seja verdadeira.
Ou seja, 1²+ 2²+...+ k² = k(k+1)(2k+1)/6
Queremos provar que para k+1 também é verdadeira.
( ou seja, 1² + 2² + ... + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 )
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.
Compartilhar