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soma dos quadados dos n primeiros numeros

Prove que a soma dos quadados dos n primeiros numeros naturais é n(n + 1)(2n + 1) /6.

💡 2 Respostas

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Rodrigo Baltuilhe dos Santos

Boa tarde, Jermaine!

Para calcular, vamos primeiro calcular a soma dos n primeiros números naturais.

Cada termo será dado por ai, onde i é a posição/índice do termo. Então:

a1=1, a2=2, a3=3, an=n

A soma, pela fórmula de soma de P.A. (progressão aritmética) é:

Sn=(a1+an)xn/2=(1+n)n/2=(n+n²)/2

Blz. Iremos precisar dela depois :)

Agora façamos o seguinte:

(0+1)³=0³+3x0²x1+3x0x1²+1³

(1+1)³=1³+3x1²x1+3x1x1²+1³

(2+1)³=2³+3x2²x1+3x2x1²+1³

.

.

.

(n+1)³=n³+3xn²x1+3xnx1²+1³

Se somarmos agora todas as equações, teremos:

1³+2³+3³+…+(n+1)³=0³+1³+2³+3³+…+n³+3x(1²+2²+3²+…+n²)+3x(1+2+3+…+n)+(n+1)

Simplificando em ambos os lados, teremos:

(n+1)³=3xQn+3xSn+(n+1), onde Qn = soma dos quadrados dos n primeiros números naturais e Sn é a soma dos n primeiros números naturais.

Desenvolvendo e substituindo o Sn já calculado, teremos:

n³+3xn²x1+3xnx1²+1³=3xQn+3x((n+n²)/2)+(n+1)

n³+3n²+3n+1-n-1-3(n+n²)/2=3Qn Multiplicando tudo por 2, para facilitar:

2n³+6n²+6n+2-2n-2-3(n+n²)=6Qn

6Qn=2n³+3n²+n

Qn=n³/3+n²/2+n/6 ou

6Qn=2n³+3n²+n=n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)

Qn=n(n+1)(2n+1)/6

Espero ter ajudado! :)

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Profª. Thayná Leal (matemática)

Exemplo de prova por indução:

para n = 1 , temos 1(1+1)*(2+1)/6 = (2*3)/6 = 1. Logo, para n = 1 é verdadeira.

Suponha que para k números seja verdadeira.

Ou seja,   1²+ 2²+...+ k² = k(k+1)(2k+1)/6

Queremos provar que para k+1 também é verdadeira.

( ou seja, 1² + 2² + ... + (k+1)² = (k+1)(k+2)(2k+3)/6 )

 

 

 

 

 

 

 

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