Prove por indução as seguintes formulas:

I.(Base da indução) Mostrando que vale para n=1.

De fato, 1=[1(1+1)/2]2

II. (Passo indutivo)

Hipótese: Supondo que vale para n=k, isto é, 1³+2³+...+k³=[k(k+1)/2]²

Tese: Devemos mostrar que vale para n=(k+1),isto é, 1³+2³...+k³+(k+1)³=[(k+1)(k+2)/2]²

Prova.

1³+2³+...+k³+(k+1)³

=[k(k+1)/2]²+(k+1)³  (Pela hipótese)

=k²(k+1)²/4+(k+1)³

=(k+1)²/4[k²+4(k+1)]

=(k+1)²/4[k²+4k+1]

=(k+1)²(k+2)²/4

=[(k+1)(k+2)/2]² c.q.d