Prove por indução as formulas

1² + 3² + .... + (2n − 1)² =1/3 n(2n − 1)(2n + 1).

i) Para n=1 temos:

(2n - 1)² = [2(1) - 1]² = (2 - 1)² = (1)² = 1

 =  = =1 (V)

ii) Para n=k temos:

1² + 3² + ... + (2k -1)² = 1/3 k(2k - 1)(2k + 1) (V)

iii) Devemos provar que a sentença é válida para n=k+1, então temos:

1² + 3² + ... + (2k -1)² + (2k+1)² = 1/3 [(k+1)(2k + 1)(2k + 3)

1² + 3² + ... + (2k -1)² = 1/3 k(2k - 1)(2k + 1) + (2k+1)² =

1/3 k(2k - 1)(2k + 1) + 4k² + 4k + 1

Desenvolvendo k(2k - 1)(2k + 1) temos:

1/3(4k³-k) + 4k² + 4k + 1 = 1/3(4k³-k + 12k² + 12k + 3) = 1/3(4k³+ 12k² + 11k + 3)

Dividindo 4k³+ 12k² + 11k + 3  por k+1 temos como resultado 4k² + 8k + 3 que fatorado tem como resultado (2k + 1)(2k + 3), então temos:

1/3(k+1)(2k+1)(2k+3) (V) que é o resultado esperado.