Dados quatro pontos A, B, C e D mostre que AD ≤ AB + BC + CD.

se estiverem alinhados nessa ordem AD = AB +BC + CD

se estiverem alinhados com D ente AC ou CD AD<AB +BC + CD

se A,B,C estiverem alinhados nessa ordem e D fora da reta  pela desigualdade triangular

AD<AB + BD e AD< AC + CD como AC = AB + BC temos que AD<AB+BC+CD se outro ponto alem de D ficar fora da reta que contem os outros tres é  imediato. Agora falta o caso de tres deles não pertencerem a mesma reta.