Buscar

Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + y, delimitada pela região x² ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2.

Calcule a integral dupla da função f(x,y) = x + y, delimitada pela região x² ≤ y ≤ 2x e 0 ≤ x ≤ 2. 54/15 50/15 48/15 52/15 46/15

💡 1 Resposta

User badge image

RD Resoluções

Para resolver este problema devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral.

Tendo em vista os limites, a integral em questão pode ser escrita da seguinte maneira:

\(\int_0^2 \int_{x^2}^{2x}x+y\text{ }dydx\)

Dessa forma, teremos que integrar primeiro em relação a \(y\) e, em seguida, em relação a \(x\). Fazendo isso, resulta que:

\(\begin{align} \int_0^2 \int_{x^2}^{2x}x+y\text{ }dydx&=\int_0^2 \left[ xy+\dfrac{y^2}{2}\right]_{x^2}^{2x}\text{ }dx \\&=\int_0^2 \left[ x(2x-x^2)+\dfrac{(2x-x^2)^2}{2}\right]\text{ }dx \\&=\int_0^2 2x^2-x^3+\dfrac{x^4}{2}-2x^3+2x^2\text{ }dx \\&=\int_0^2 \dfrac{x^4}{2}-3x^3+4x^2\text{ }dx \\&=\left[\dfrac{x^5}{10}-\dfrac{3x^4}{4}+\dfrac{4x^3}{3} \right]_0^2 \\&=\dfrac{(2-0)^5}{10}-\dfrac{3\cdot(2-0)^4}{4}+\dfrac{4\cdot(2-0)^3}{3} \\&=\dfrac{32}{10}+\dfrac{48}{4}+\dfrac{32}{3} \\&=25,8\overline6 \end{align}\)

Portanto \(\boxed{\begin{align} \int_0^2 \int_{x^2}^{2x}x+y\text{ }dydx=25,8\overline6 \end{align}}\).

 

1
Dislike1

Faça como milhares de estudantes: teste grátis o Passei Direto

Esse e outros conteúdos desbloqueados

16 milhões de materiais de várias disciplinas

Impressão de materiais

Agora você pode testar o

Passei Direto grátis


✏️ Responder

SetasNegritoItálicoSublinhadoTachadoCitaçãoCódigoLista numeradaLista com marcadoresSubscritoSobrescritoDiminuir recuoAumentar recuoCor da fonteCor de fundoAlinhamentoLimparInserir linkImagemFórmula

Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta.

User badge image

Outros materiais