A proporção populacional é de 0,30. Qual é a probabilidade de a proporção amostral estar dentro de +/- 0,04 da proporção populacional correspondente a

Para resolver este problema, devemos colocar em prática a teoria sobre o cálculo de intervalo de confiança para proporção. Neste contexto, o intervalo de confiança \((IC)\) é calculado por meio da seguinte equação:

\(IC\left (p;1-\alpha \right)=\left [p-z_{\frac{1-\alpha}{2}}\cdot \sigma_p;\text{ } p+z_{\frac{1-\alpha}{2}}\cdot \sigma_p \right],\)

em que \(p\) é a proporção; \(\alpha\) o nível de significância; \(z\) o coeficiente obtida da tabela de distribuição normal; e \(\sigma_p=\sqrt{\dfrac{p\cdot q}{n}}\), onde \(q=1-p\)  e \(n\) é o tamanho da amostra.

Assim, de calcula-se o coeficiente \(z\) e busca-se seu valor na Tabela de Distribuição Normal (https://www.tudoengcivil.com.br/2014/10/tabela-de-distribuicao-normal.html):

\(\begin{align} z_{\frac{1-\alpha}{2}}&=z_{\frac{0,96}{2}} \\&=z_{\small{0,48}} \\&=2,055 \end{align}\)

Além disso, para uma proporção \(p=0,30\), tem-se que:

\(\begin{align} q&=1-p \\&=1-0,30 \\&=0,70 \end{align}\)

a)

Para uma população \(n=100\), calcula-se o intervalo de confiança:

\(\begin{align} IC\left (0,30;\text{ }0,96 \right)&=\left [0,30 - 2,055\cdot \sqrt{\dfrac{0,30\cdot0,70}{100}};\text{ } 0,30 + 2,055\cdot \sqrt{\dfrac{0,30\cdot0,70}{100}}\right] \\&=\left [0,2058;\text{ }0,3942\right] \end{align}\)

Portanto, para uma população \(n=100\), o intervalo de confiança é  \(\boxed{ IC\left (0,30;\text{ }0,96 \right) = \left [0,2058; \text{ } 0,3942 \right]} \) e isso significa que a probabilidade de a proporção amostral estar dentro de \(\pm 0,04\) da proporção populacional está entre \(20,58\text{ %}\) e \(39,42\text{ %}\).

b)

Para uma população \(n=500\), calcula-se o intervalo de confiança:

\(\begin{align} IC\left (0,30;\text{ }0,96 \right)&=\left [0,30 - 2,055\cdot \sqrt{\dfrac{0,30\cdot0,70}{500}};\text{ } 0,30 + 2,055\cdot \sqrt{\dfrac{0,30\cdot0,70}{500}}\right] \\&=\left [0,2579;\text{ }0,3421\right] \end{align}\)

Portanto, para uma população \(n=500\), o intervalo de confiança é  \(\boxed{ IC\left (0,30;\text{ }0,96 \right) = \left [0,2579; \text{ } 0,3421 \right]} \) e isso significa que a probabilidade de a proporção amostral estar dentro de \(\pm 0,04\) da proporção populacional está entre \(25,79\text{ %}\) e \(34,21\text{ %}\).