Qual o resultado da integral dupla \(\int_{-1}^{0}\int_{-1}^{0}2xydxdy\)?

Seja:

\(\int _{-1}^0\int _{-1}^02xydxdy\)

Vamos calcular essa integral primeiro em relação a x ( nesse caso , y funciona como uma constante)

\(\int _{-1}^02xydx=2y\int _{-1}^0xdx\\ 2y\int _{-1}^0xdx=2y\frac{x^2}{2}=yx^2\)

Aplicando nos limites:

\(yx^2]_{-1}^0=y.0^2-(y.(-1)^2)=0-y=-y\)

Voltando na integral dupla:

\(\int _{-1}^0\int _{-1}^02xydxdy=\int _{-1}^0(-y)dy\)

Resolvendo essa integral em relação a y:

\(\int _{-1}^0-ydy=-\frac{y^2}{2}]_{-1}^0=0-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\)

Portanto

\(\int _{-1}^0\int _{-1}^02xydxdy=\frac{1}{2}\)