Qual é a derivada da função F(x) = x^2+xlnx/2

Queremos \(\frac{d}{dx}\left(x^2+\frac{x\ln \left(x\right)}{2}\right)\)

Podemos separar essa derivada em uma soma de derivadas:

\(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)+\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{2}\right)\)

Assim:

\(\frac{d}{dx}\left(x^2\right)=2x\)

\(\frac{d}{dx}\left(\frac{x\ln \left(x\right)}{2}\right)\)

Vamos tirar a constante para fora:

\(\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(x\right)\right)\)

Agora, vamos utilizar a Regra do Produto \(\left(f\cdot g\right)'=f'\cdot g+f\cdot g'\)

\(\frac{1}{2}\left(\frac{d}{dx}\left(x\right)\ln \left(x\right)+\frac{d}{dx}\left(\ln \left(x\right)\right)x\right)=\frac{1}{2}\left(1\cdot \ln \left(x\right)+\frac{1}{x}x\right)\)

Simplificando:

\(\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(x\ln \left(x\right)\right)=\frac{\ln \left(x\right)+1}{2}\)

Voltando à derivada original:

\(\frac{d}{dx}\left(x^2+\frac{x\ln \left(x\right)}{2}\right)=2x+\frac{\ln \left(x\right)+1}{2}\)