determine x de modo que o número z=2-xi sobre 1+2xi seja imaginário puro

Temos:

\({2-xi \over 1+2xi} = {2-xi \over 1+2xi}{1-2xi \over 1-2xi} = {2-4xi-xi+x²i² \over 1-2xi+2xi-4x²i²} = {2-5xi-x² \over 1+4x²} ={2-x² \over 1+4x²} -{5x \over 1+4x²}i\)

Para que seja imaginário puro temos que a parte real do número deve ser zero, logo:

\({2-x² \over 1+4x²} = 0 => {2-x²} = 0 => 2 = x² = > x = \pm\sqrt{2}\)