um fazendeiro tem 1600 metros de cerca e quer cercar um campo retangular que está na margem de um rio reto. ele não precisa de cerca ao longo do rio.

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente sobre otimização de funções.

Neste contexto, é necessário começar a resolução determinando a função. Sendo \(x\) a largura do terreno e \(y\) o comprimento e admitindo que o rio corre ao longo do comprimento, escreve-se a área \((A)\) e o perímetro \((P)\) do terreno:

\(\begin{align} A&=x\cdot y \\ \\P&=x+x+y \\&=2x+y \\&=1600\Rightarrow y=1600-2x \end{align}\)

Relacionando as equações, resulta que:

\(\begin{align} A&=x\cdot y \\&x\cdot (1600-2x) \\&=-2x^2+1600x \end{align}\)

Lembrando que o ponto de máximo da função ocorre quando sua derivada é zero, vamos derivar a função \(A(x)=-2x^2+1600x\) e igualar a expressão a zero:

\(\begin{align} A'(x)&=-4x+1600 \\&=0 \end{align}\)

Isolando a largura do terreno, encontra-se que:

\(\begin{align} x&=\dfrac{-1600}{-4} \\&=400\text{ m} \end{align}\)

Uma vez conhecido \(x\), calcula-se \(y\):

\(\begin{align} y&=1600-2x \\&=1600-2\cdot 400 \\&=1600-800 \\&=800\text{ m} \end{align}\)

Portanto, o campo com maior área nas condições do problema, possui \(\boxed{400\text{ m}}\) de largura e \(\boxed{800\text{ m}}\) de comprimento.