como resolver esse exercicio

Primeiro encontre |u + v + w|^2, pois vale a igualdade:

|u + v + w|^2 = (u + v + w) . (u + v + w)

                      = u.u + u.v + u.w + v.u + v.v + v.w + w.u + w.v + w.w

                      = |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2u.v + 2v.w + 2u.w

Veja que os 3 primeiros valores foram fornecidos e os produtos esclares que aparecem podem ser encontrados pelo ângulo entre os vetores. Por exemplo, usando a fórmula do cosseno entre os vetores u e v: cos(x) = u.v/|u||v| --> 0 = u.v, pois o ângulo entre u e v é 90. OBS: o ângulo entre u e w, que não foi dado pode ser 60 ou 120, de forma que tem 2 respostas aqui.

Usando a definição de módulo por produto escalar, temos:

\(|u|=2=\sqrt{u\cdot u}\Rightarrow u\cdot u=4\\ |v|=3=\sqrt{v\cdot v}\Rightarrow v\cdot v=9\\ |u|=4=\sqrt{w\cdot w}\Rightarrow w\cdot w=16\)

Vamos agora calcular o que é pedido pela mesma definição:

\(x = |u+v+w|=\sqrt{(u+v+w)\cdot(u+v+w)}=\sqrt{u\cdot u+v\cdot v+w\cdot w+2u\cdot v+2u\cdot w+2v\cdot w}\)

Substituindo as expressões já obtidas, temos:

\(x=\sqrt{4+9+16+2u\cdot v+2u\cdot w+2v\cdot w}=\sqrt{29+2u\cdot v+2u\cdot w+2v\cdot w}\)

Usando a definição de produto escalar pelo ângulo entre vetores, temos:

\(x=\sqrt{4+9+16+2u\cdot v+2u\cdot w+2v\cdot w}=\sqrt{29+2|u|\cdot |v|cos(\theta_{uv})+2|u|\cdot |w|cos(\theta_{uw})+2|w|\cdot |v|cos(\theta_{wv})}\)

Substituindo os valores dados, temos:

\(x=\sqrt{29+2\cdot 6cos(90^o)+2\cdot 8cos(\theta_{uw})+2\cdot 12cos(30^o)}\)

Como os vetores são coplanares, temos:

\(\theta_{uw}=\theta_{uv}+\theta_{vw}=90^o+30^o = 120^o\)

Substituindo nos cálculos, temos:

\(x=\sqrt{29+2\cdot 6cos(90^o)+2\cdot 8cos(120^o)+2\cdot 12cos(30^o)}\)

Fazendo as conteas, temos:

\(x=\sqrt{29+12\cdot 0+16\cdot \left(-{1\over2}\right)+24{\sqrt{3}\over 2}}=\sqrt{29-8+12\sqrt{3}}\Rightarrow \boxed{|u+v+w|=\sqrt{21+12\sqrt 3}}\)