Dado o ponto A(2;3), ache o vetor AP, onde P é perpendicular baixada de A à reta y=5x+3.

Bom dia, Rosilene!

A reta y=5x+3 pode ser escrita da seguinte forma:

5x+3=y

5(x+3/5)=y-0

5(x-(-3/5))=y-0

(x-(-3/5))/(1/5)=(y-0)/1

Desta última equação temos que a reta passa pelo ponto (-3/5,0) e que um de seus vetores diretores é d=(1/5,1)

Agora, de posse do vetor diretor da reta dada podemos utilizar o seguinte:

d.AP=0, ou seja, o produto interno entre o vetor diretor e o vetor AP é nulo, pois formam angulo de 90 graus entre si.

(1/5,1).(x-2,y-3)=0

(1/5)(x-2)+1(y-3)=0 multiplicando por 5

x-2+5(y-3)=0

Como y=5x+3, teremos:

x-2+5(5x+3-3)=0

x-2+25x=0

26x=2

x=1/13

Substituindo este x em y=5x+3, teremos
y=5(1/13)+3

y=5/13+3=42/13

Então, o ponto P=(1/13,44/13) é o ponto solicitado.

Para encontrar o vetor AP devemos realizar os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=(2,3) \\ & y=5x+3 \\ & y-3=-1/5(x-2) \\ & 25x=x+2 \\ & x=\frac{1}{13} \\ & y=\frac{44}{13} \\ & \\ & u=\left( \frac{1}{13}-2;\frac{44}{13}-3 \right) \\ & u=\left( \frac{-25}{13};\frac{5}{13} \right) \\ \end{align}\ \)

Portanto, o vetor AP será \(\begin{align} & u=\left( \frac{-25}{13};\frac{5}{13} \right) \\ \end{align}\ \).