A curva com equação x2 + y2 = (2x2 + 2y2 − x)2 é chamada cardióide. Determine y′. Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto (0, 1 2 ).

O ponto (0,12) não pertence a curva, para ver isto basta substituir x=0 e y=12, e chegamos a 144 = 82944, que é obviamente falsa.

Vou resolver o probleme para um ponto \((x_0,y_0)\) qualquer que pertença a curva.

Para encontrar y', basta derivarmos ambos os lados da equação, enxergando a variavel y como uma função de x, assim teremos y=y(x), com isto:

\(x^2+y^2=(2x^2+2y^2-x)^2\)

\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2)=​​\frac{d}{dx}(2x^2+2y^2-x)^2\)

\(2x+2yy'=2(2x^2+2y^2-x)(4x+4yy'-1)\)

\(x+yy'=8x^3+8x^2yy'-2x^2+8xy^2+8y^3y'-2y^2-4x^2-4xyy'+x\)

\(yy'+4xyy'-8y^3y'+8x^2yy'=8x^3-6x^2+8xy^2-2y^2\)

\(y'(y+4xy-8y^3+8x^2y)=8x^3-6x^2+8xy^2-2y^2\)

\(y'=\frac{8x^3-6x^2+8xy^2-2y^2}{y+4xy-8y^3+8x^2y}\)

y' é a inclinação da reta tangente, então dado um ponto \((x_0,y_0)\) a  equação da reta tangente que passa por esse ponto é:

\(y=y'(x_0,y_0).(x-x_0)+y_0\)

Bom dia, Karine!

Este é um caso onde não conseguiremos isolar a variável dependente y para encontrarmos sua derivada, então, teremos que usar a técnica da derivação implícita.

x²+y²=(2x²+2y²-x)²

Então, derivando em função de x, teremos:

2x+2y.dy/dx=2(2x²+2y²-x)(4x+4y.dy/dx-1) Dividindo ambos os lados por 2:

x+y.dy/dx=(2x²+2y²-x)(4x-1)+(2x²+2y²-x).4y.dy/dx

y.dy/dx-(2x²+2y²-x).4y.dy/dx=(2x²+2y²-x)(4x-1)-x

y(1-4.(2x²+2y²-x)).dy/dx=(2x²+2y²-x)(4x-1)-x

dy/dx=((2x²+2y²-x)(4x-1)-x)/(y(1-4.(2x²+2y²-x)))

Para achar o valor da derivada no ponto (0,12) ficou fácil agora :)

Só subtituirmos:

dy/dx=((2(0)²+2(12)²-0)(4(0)-1)-0)/(12(1-4.(2(0)²+2(12)²-0)))=-288/-13812=72/3453=24/1151

Então, se nada estiver errado! :)

y-y0=m(x-x0)

y-12=24/1151(x-0)

y=(24/1151)x+12