Vetores

Dados os pontos A(1, 0, -1) e B(4, 3, 0) e C(1, 3, 0), determinar o valor de m para que | V | = 7, sendo V = m AC + BC. Observe que V, AC e BC são vetores.

		m=3 e m=-3
		m=2 e m=-2
		m=-4
		m=1
		m=4 e m=-4

Cálculo Vetorial e Geometria Analítica

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ESTÁCIO

2

0

2

0

1

Gabriela Veneski

17.06.2018

💡 1 Resposta

RD Resoluções

25.06.2018

Primeiramente, vamos obter todos os vetores possíveis com os três pontos dados.

Esses vetores serão obtidos por Grassmann:

$\overrightarrow{AB}= B-A = (4,3,0)-(1,0,-1)= (3,3,1)$

$\overrightarrow{AC}= C-A = (1,3,0)-(1,0,-1)= (0,3,1)$

$\overrightarrow{BC}= C-B = (1,3,0)-(4,3,0)= (-3,0,0)$

Agora, o exercício nos fornece que o vetor $\overrightarrow{V}= m \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}$ . Então:

$\overrightarrow{V}= m (0,3,1)+(-3,0,0) \\ \overrightarrow{V}= (0,3m,1m)+(-3,0,0) \\ \overrightarrow{V}= (0-3,3m+0,1m+0) \\ \overrightarrow{V}= (-3,3m,1m)$

Outro dado que o exercício nos fornece é a norma (ou módulo) do vetor $\overrightarrow{V}$ , que é igual a 7.

A norma de um vetor é calculada pela raíz quadrada da soma do quadrado de suas componentes, assim:

$|\overrightarrow{V}|= \sqrt{(-3)^2+(3m)^2+ (1m)^2}$

$|\overrightarrow{V}|= \sqrt{9+9m^2+ 1m^2}$

$|\overrightarrow{V}|= \sqrt{9+10m^2}$

E se $|\overrightarrow{V}|=7$ , então:

$\sqrt{9+10m^2}=7 \\ \\ (\sqrt{9+10m^2}~)^2=7^2 \\ \\ 9+10m^2=49 \\ \\ 10m^2=49-9 \\ \\ 10m^2=40 \\ \\ m^2= \frac{40}{10} \\ \\ m^2=4 \\ m= \sqrt{4} \\ m=2~~ou~~m=-2$