Calculo

Boa noite, Cláudio!

Vamos colocar as dimensões da caixa:

x = lado da base

y = altura

V=x²y (área da base, quadrada, vezes altura)

A=x²+4xy (área da base + 4 faces laterais de área xy)

Como A=108, temos:

x²+4xy=108

4xy=108-x²

y=(108-x²)/(4x)

Substituindo no V, teremos:

V=x²y

V=x²(108-x²)/(4x)

V=x(108-x²)/4

V=(108x-x³)/4

Para ter Volume máximo precisamos primeiramente calcular os pontos críticos derivando V em função de x (dV/dx)

dV/dx=(108-3x²)/4

Igualando a zero:

(108-3x²)/4=0

108-3x²=0

x²=108/3=36

x=6 polegadas

Para verificar se é um ponto de máximo ou mínimo, podemos analisar o sinal da derivada ou fazer o teste da derivada segunda.

Pelo sinal da derivada primeira:

dV/dx=(108-3x²)/4

É uma parábola com concavidade para baixo, ou seja, com um ponto de MÁXIMO.

Analisando o sinal de dV/dx:

Para x<6, dV/dx > 0 (derivada positiva, curva crescente)

Para x>6, dV/dx < 0 (derivada negativa, curva decrescente)

Por isso ponto de Máximo.

Analisando o sinal da derivada segunda:

d²V/dx²=(-6x)/4

Então, -6*6/4 < 0, sinal negativo, na derivada segunda, indica concavidade para BAIXO, por isso, PONTO DE MÁXIMO!

A análise seria a seguinte: derivada negativa a curva é DECRESCENTE. Como a derivada é a segunda, então a curva decrescente é a derivada primeira. E, pelo que vimos na análise da primeira derivada ela vem positiva, torna-se zero, depois continua negativa, ou seja, vem diminuindo sua inclinação.

Então, x=6 polegadas torna a caixa com volume MÁXIMO!

Espero ter ajudado!

Para responder essa pergunta, precisamos saber que a fórmula do volume dessa caixa é:

\(V=a².h\) , onde é a são os lados da base quadrada e h a altura.

Agora, vamos encontrar a área da superfície 

\(A=área \:da\: base+ área\: dos\: 4\: lados:\)

\(108= a²+ 4a.h\)

Vamos deixar h em evidência na fórmula da área:

\(108= a²+ 4a.h\\ h= \frac{(108-a²)}{ 4a}\)

Vamos substituir na fórmula do volume

\(V=a².h\\ V=\frac{a².((108-a²)}{ 4a}\)

Reorganizando:

\(V=(27a)-(\frac{a³}4)\)

Vamos achar os pontos críticos dessa função derivando e igualando a zero:

\(V=(27a)-(\frac{a³}{4})\\ V'=(27-\frac{3a²}4)\\ (27-\frac{3a²}4)=0\\ 27.4= 3a²\)

\(a= 6\) ( não usamos o valor negativo da raíz pois é uma unidade de medida).

Vemos que para \(a>6\) , a fórmula \(V=(27a)-(\frac{a³}4)\) fornece um V cada vez menor, ja ue a parcela negativa fica cada vez maior . Para \(a<6\), a fórmula também fornece um volume cada vez menor, uma vez que a parcela (\(27a\)) fica menor.

Assim, \(a=6\) é um ponto de maximo local 

Substituindo na fórmula \(h= \frac{108-a²}{ 4a}\)

\(h=\frac{(108-36)}{24}\\ h=3\)

Assim, as dimensões são :

\(\boxed{a=6\:pol}\\ \boxed{h=3\:pol}\)

olá, vi uma questão quase igual num livro aqui no pd

https://www.passeidireto.com/arquivo/3014713/cdi-i-capitulo-1-a-20/15

abraços