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Como calcular base ortonormal para sub-espaço vetorial de um sistema linear

Obtenha uma base ortonormal para o sub-espaço vetorial S c R^5 gerado por todas as soluções do sistema linear abaixo:

x1 - x2 + 2*x3 + x4 + 2*x5 = 0

2*x1 + 2*x3 -  x4 + x5 =

x1 - 3*x2 + 4*x3 - x4 = 0


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Para encontrarmos uma base ortonormal, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^1}{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^4}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^5}{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\\ {2{x^1}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^3}{\rm{ }} - \;{\rm{ }}{{\rm{x}}^4}{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^5}{\rm{ }} = 0}\\ {{x^1}{\rm{ }} - {\rm{ }}3{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}4{x^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^4}{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} T\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }} = {\rm{ }}h\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y,{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}y,{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }}\\ T\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }} = {\rm{ }}h\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c,{\rm{ }}a{\rm{ }} - {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}3c} \right)i.\\ T{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c,{\rm{ }}a{\rm{ }} - {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}3c} \right). \end{array}\)

Portanto, o sistema vetorial dado não é uma base (o sistema vetor linearmente dependente), então existem xi ≠ 0.

Para encontrarmos uma base ortonormal, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{array}{*{20}{l}} {{x^1}{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^3}{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^4}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^5}{\rm{ }} = {\rm{ }}0}\\ {2{x^1}{\rm{ }} + {\rm{ }}2{x^3}{\rm{ }} - \;{\rm{ }}{{\rm{x}}^4}{\rm{ }} + {\rm{ }}{x^5}{\rm{ }} = 0}\\ {{x^1}{\rm{ }} - {\rm{ }}3{x^2}{\rm{ }} + {\rm{ }}4{x^3}{\rm{ }} - {\rm{ }}{x^4}{\rm{ }} = {\rm{ }}0} \end{array}\)

\(\begin{array}{l} T\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }} = {\rm{ }}h\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y,{\rm{ }}x{\rm{ }} - {\rm{ }}y,{\rm{ }}2x{\rm{ }} + {\rm{ }}3y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }}\\ T\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right)i{\rm{ }} = {\rm{ }}h\left( {x,{\rm{ }}y} \right),\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c,{\rm{ }}a{\rm{ }} - {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}3c} \right)i.\\ T{\rm{ }}\left( {a,{\rm{ }}b,{\rm{ }}c} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}2c,{\rm{ }}a{\rm{ }} - {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}3c} \right). \end{array}\)

Portanto, o sistema vetorial dado não é uma base (o sistema vetor linearmente dependente), então existem xi ≠ 0.

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