Encontre as dimensões do maior campo retangular que pode ser fechado com 240 m de cerca.

Vamos dizer que um dos lados do retangulo é x e o outro é y. Como sabemos o perímetro do campo, vamos escrever que 2(x+y)=240 --> x+y=120 --> y=120-x.

Então o valor da área em função de x seria A(x)=x.(120-x)=120x-xˆ2.

Como queremos a maior área, basta derivar a expressão da área em função de x pois assim acharemos o x que nos leva a área máxima, e assim teremos a área propriamente dita.

Derivando A(x)--> A`(x)=120-2x -->A`(x)=0 -->x=60 .

Pra x=60 --> A(60)=60.60=360mˆ2.

Vlw cara, muito boa a tua resposta! (Y)

Seja A a função da área do campo retangular, c o comprimento de cerca usado, y a dimensão do lado do campo retangular que é no rio e x a dimensão do lado perpendicular à y. Então pode-se tirar que: 

c = 2x + y = 240 m 

A área do campo retangular pode ser dada por: 

A = x*y 

Botando a função A em função de apenas uma variável, no caso a mais conveniente é x: 
y = 240 - 2x 

A(x) = x * (240 - 2x) 
A(x) = - 2x² + 240x 

Agora derive A(x) em relação à x: 
A '(x) = - 4x + 240 

Defina o domínio de A(x): 
x ∈ (0, +∞) --> Como x é o lado do retângulo, não pode ser negativo. 

Agora ache os números críticos de A(x): 
-> A' (x) ∃ ∀ x ∈ (0, +∞) 
-> A' (x) = 0 --->- 4x + 240 = 0 ----> 4x = 240 ----> x = 60 

Pelo Teste da Derivada Primeira(TDP) para extremos relativos quando x < 60, A' (x) > 0, e quando x > 60, A' (x) < 0, então pelo TDP x = 60 é um valor de máximo relativo. Como A(x) é contínua em todo o seu domínio e como x = 60 é o único número crítico, então x = 60 também é o máximo absoluto de A(x). Assim concluímos que quando x = 60 A(x) assume valor máximo. 

Agora calcule a dimensão y: 
y = 240 - 2x 
y = 240 - 2*60 
y = 120 

Portanto, as dimensões que maximizam a área do campo retangular são: 
60 m por 120 m