13 - Como o perimetro do retangulo é 2p, chamaremos os lados do retangulo de x e p-x.

Como a area do retangulo é base*altura, A=x*(p-x) = px-x².

Para encontrar a area máxima vamos derivar e igualar a zero, deste modo:

\(\frac{d}{dx}A=\frac{d}{dx}px-x^2\)

\(p-2x=0\)

\(x=\frac{p}{2}\)

Assim \(A_{max}=\frac{p^2}{4}\)

14 - Vamos relembrar as formulas de volume e area total de um cilindro, \(V=\pi r^2L\) , \(A_T=2\pi r(r+L)\)

A função custo do material é dada da seguinte forma \(C= 10.(2\pi rL + \pi r^2) + 20\pi r^2\)

Da expressão do volume obtemos a relação entre L e r, \(L=\frac{1}{\pi r^2}\)

Assim \(C(r)= \frac{20}{r} + 30\pi r^2\)

Derivando e igulando a zero obtemos:

\(\frac{-20}{r^2}+60\pi r=0\)

\(20=60\pi r^3\)

\(r^3=\frac{2}{3\pi}\)

\(r=\sqrt [3] {\frac{2}{3\pi}}\)

Assim \(L=\sqrt [3] {\frac{9}{4\pi}}\)