Seja o operador linear T:R^2 -> R^2, T(x,y)=(x+y, x-y).

Bom dia!

A) Como B é uma base, temos que achar como correlacionar a base B com a transformação linear T(x,y) dada.

T(x,y)=(x+y,x-y)=x(1,1)+y(1,-1)

Então, para encontrarmos a matriz de mudança de base pedida, temos que encontrar o seguinte:

(1,1) = x (1,2) + y(0,-1) ⇒ x=1, 2x-y=1, então: x=1 e y=1

(1,-1) = x (1,2) + y(0,-1) ⇒ x=1, 2x-y=-1, então: x=1 e y=3

Então, a matriz [t]b que realiza a mudança de base é:

        | 1   1|

[t]b=|        |, onde a primeira coluna é (1,1) e a segunda coluna (1,3)

        | 1   3|

B) Agora ficou fácil.

                               |4|  |1      1|| 4|   |1*4+1*2|

T(v)b=T(4,2)b=[t]b*|  |=|          ||   |=|             |

                               |2|  |1      3|| 2|   |1*4+2*3|

T(v)b=(6, 10)b

O que isto significa?

Que a transformação de T(v)b, na base canônica, valeria:

(6,10) = 6*(1,2) + 10*(0,-1)=(6+0,12-10)=(6,2)

Verificando:

T(4,2)=(4+2,4-2)=(6,2)

Espero ter ajudado!

a)

Aplicando, temos:
\(\[\begin{align} & \left( 1,1 \right)\text{ }=\text{ }x~\left( 1,2 \right)\text{ }+\text{ }y\left( 0,-1 \right)~ \\ & x=1 \\ & 2x-y=1 \\ & x=1\text{ }e\text{ }y=1 \\ & \left( 1,-1 \right)\text{ }=\text{ }x~\left( 1,2 \right)\text{ }+\text{ }y\left( 0,-1 \right)~\Rightarrow \text{ } \\ & x=1 \\ & 2x-y=-1 \\ & x=1~e\text{ }y=3 \\ & \text{Primeira coluna: (1}\text{,1)} \\ & \text{Segunda coluna: (1}\text{,3)} \\ \end{align}\] \)

b)

  \(\[\begin{align} & 6,10\text{ }=\text{ }6.\left( 1,2 \right)\text{ }+\text{ }10.\left( 0,-1 \right) \\ & \left( 6+0,12-10 \right) \\ & \left( 6,2 \right) \\ \end{align}\] \)