Escrever o vetor w(-3, 5, 3) como combinação linear de : a = (1, 2, -1), b = (-2, 3, -1) e c = (0, -1, 2)

Considerando o vetor \(w=(-3,5,3)\) com combinação linear de \(a=(1,2,-1)\), \(b=(-2,3,-1)\) e \(c=(0,-1,2)\), pode-se escrever a seguinte equação:

\(\Longrightarrow w=A \cdot a + B \cdot b + C \cdot c\)

Agora, deve-se encontrar os valores das constantes \(A\), \(B\) e \(C\).

A equação anterior pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (-3,5,3)=A \cdot (1,2,-1) + B \cdot (-2,3,-1) + C \cdot (0,-1,2)\)

\(\Longrightarrow (-3,5,3)=(A,2A,-A) + (-2B,3B,-B) + (0,-C,2C)\)

\(\Longrightarrow (-3,5,3)=(A-2B \, , \,\, 2A+3B-C \, , \,\, -A-B+2C)\)

Agora, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} A-2B=-3 & (I) \\ 2A+3B-C =5 & (II)\\ -A-B+2C = 3 & (III) \end{matrix} \right.\)

Multiplicando a equação \((I)\) por 2 e a equação \((III)\) por 2, as novas equações \((I)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2A-4B=-6 & (I) \\ 2A+3B-C =5 & (II)\\ -2A-2B+4C = 6 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando as operações \((I)-(II)\) e \((I)+(III)\), as novas equações \((II)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2A-4B=-6 & (I) \\ -7B+C =-11 & (II)\\ -6B+4C = 0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Multiplicando a equação \((II)\) por 4, a nova equação \((II)\) é:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} 2A-4B=-6 & (I) \\ -28B+4C =-44 & (II)\\ -6B+4C = 0 & (III) \end{matrix} \right.\)

Realizando a operação \((II)-(III)\), o valor de \(B\) é:

\(\Longrightarrow (-28B+4C)-(-6B+4C) = -44-0\)

\(\Longrightarrow (-28B+6B)+(4C+4C) = -44-0\)

\(\Longrightarrow -22B = -44\)

\(\Longrightarrow \underline { B=2 }\)

Substituindo o valor de \(B\) na equação \((III)\), o valor de \(C\) é:

\(\Longrightarrow -6B+4C =0\)

\(\Longrightarrow 4C =6B\)

\(\Longrightarrow C ={6 \over 4} \cdot 2\)

\(\Longrightarrow \underline {C=3}\)

Substituindo o valor de \(B\) na equação \((I)\), o valor de \(A\) é:

\(\Longrightarrow 2A-4B=-6\)

\(\Longrightarrow 2A=4B-6\)

\(\Longrightarrow A=2B-3\)

\(\Longrightarrow A=2\cdot 2-3\)

\(\Longrightarrow \underline {A=1}\)

Finalmente, a equação inicial do exercício fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (-3,5,3)=A \cdot (1,2,-1) + B \cdot (-2,3,-1) + C \cdot (0,-1,2)\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ (-3,5,3)= (1,2,-1) + 2 \cdot (-2,3,-1) + 3 \cdot (0,-1,2) $}\)