Alguém tem um bom resumo de valores de máximo e minimo?

Que tal esse?

https://www.dropbox.com/s/5qd7tuobtdvbom5/resumao_calculo_wwwcursodecalculocombr.pdf?dl=0

=)

Uma função de duas variáveis pode assumir valores extremos apenas nos pontos de fronteira do domínio ou nos pontos onde suas derivadas parciais são nulas ou inexistentes. No entanto, o contrário nem sempre é verdade, ou seja, a anulação das derivadas nem sempre quer dizer que é um extremo. Para isso, precisamos procurar os pontos críticos e ver qual deles é o máximo ou mínimo.

Seja definida em uma região que contém o ponto então é um máximo ou mínimo local se, dentro de um disco aberto centrado em , ou respectivamente. Em outras palavras um ponto é um máximo local se for um pico da função e um mínimo local é um vale, como mostrado na figura 1 abaixo:

Figura 1 – máximos e mínimos de uma função.

Um ponto interior do domínio de uma função onde suas derivadas parciais sejam zero ou pelo menos uma delas não exista é um ponto crítico de . Os pontos críticos são possíveis candidatos a pontos de máximo ou mínimp, mas nem sempre um ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo.

Figura 2 – representação de ponto crítico.

Uma função diferenciável possui um ponto de sela em um ponto crítico se em todo disco aberto centrado em existirem pontos onde e pontos onde . Basicamente, um ponto crítico é chamado de ponto de sela se não for nem máximo nem mínimo local.

Figura 3 – ponto de cela.

O fato de que as derivadas sejam nulas em um ponto não garante que tenha um valor extremo lá. Se suas derivadas de primeira e segunda ordem forem contínuas, podemos realizar o teste da derivada de segunda ordem:

i) tem um máximo local em se .

ii) tem um máximo local em se .

iii) tem um máximo local em se .

iv) o teste é inconcludente em se . Nesse caso, devemos encontrar outra maneira de entender o comportamento da função naquele ponto.

Após realizar os testes, deve-se sempre procurar quem realmente são os maiores e menores valores de para encontrarmos os máximos e mínimos absolutos de uma região. Dito isto, segue um resumo com todo o exposto.

Resumo dos testes máximos e mínimos

Os valores extremos de podem ocorrer somente em

i) pontos de fronteira do domínio de ;

ii) pontos críticos (pontos interiores onde ou pontos ondeounão existem).

Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de forem contínuas em um ponto e , a natureza de pode ser testada com o teste da derivada de segunda ordem:

i) máximo local;

ii) mínimo local;

iii) ponto de sela;

iv) teste inconcludente.

Referências:

Figura 1 – https://www.passeidireto.com/arquivo/21585858/aula-10-maximos-e-minimos-de-funcoes-de-duas-variaveis página 1.

Figura 2 – http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func7.pdf slide 3.

Figura 3 – http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func7.pdf slide 5.

Uma função de duas variáveis pode assumir valores extremos apenas nos pontos de fronteira do domínio ou nos pontos onde suas derivadas parciais são nulas ou inexistentes. No entanto, o contrário nem sempre é verdade, ou seja, a anulação das derivadas nem sempre quer dizer que é um extremo. Para isso, precisamos procurar os pontos críticos e ver qual deles é o máximo ou mínimo.

Seja definida em uma região que contém o ponto então é um máximo ou mínimo local se, dentro de um disco aberto centrado em , ou respectivamente. Em outras palavras um ponto é um máximo local se for um pico da função e um mínimo local é um vale, como mostrado na figura 1 abaixo:

Figura 1 – máximos e mínimos de uma função.

Um ponto interior do domínio de uma função onde suas derivadas parciais sejam zero ou pelo menos uma delas não exista é um ponto crítico de . Os pontos críticos são possíveis candidatos a pontos de máximo ou mínimp, mas nem sempre um ponto crítico é um ponto de máximo ou de mínimo.

Figura 2 – representação de ponto crítico.

Uma função diferenciável possui um ponto de sela em um ponto crítico se em todo disco aberto centrado em existirem pontos onde e pontos onde . Basicamente, um ponto crítico é chamado de ponto de sela se não for nem máximo nem mínimo local.

Figura 3 – ponto de cela.

O fato de que as derivadas sejam nulas em um ponto não garante que tenha um valor extremo lá. Se suas derivadas de primeira e segunda ordem forem contínuas, podemos realizar o teste da derivada de segunda ordem:

i) tem um máximo local em se .

ii) tem um máximo local em se .

iii) tem um máximo local em se .

iv) o teste é inconcludente em se . Nesse caso, devemos encontrar outra maneira de entender o comportamento da função naquele ponto.

Após realizar os testes, deve-se sempre procurar quem realmente são os maiores e menores valores de para encontrarmos os máximos e mínimos absolutos de uma região. Dito isto, segue um resumo com todo o exposto.

Resumo dos testes máximos e mínimos

Os valores extremos de podem ocorrer somente em

i) pontos de fronteira do domínio de ;

ii) pontos críticos (pontos interiores onde ou pontos ondeounão existem).

Se as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de forem contínuas em um ponto e , a natureza de pode ser testada com o teste da derivada de segunda ordem:

i) máximo local;

ii) mínimo local;

iii) ponto de sela;

iv) teste inconcludente.

Referências:

Figura 1 – https://www.passeidireto.com/arquivo/21585858/aula-10-maximos-e-minimos-de-funcoes-de-duas-variaveis página 1.

Figura 2 – http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func7.pdf slide 3.

Figura 3 – http://www2.sorocaba.unesp.br/professor/luiza/CDI-III/func7.pdf slide 5.