Dada a circunferência x2 + y2 = 9, encontre:

Primeiramente, note que a distancia entre dois pontos no espaço é dada por:

distancia = raizquadrada{(x1-x2)^2+(y1-y2)^2}

Outro fato a ser observado, é a representação paramétrica da circunferéncia, que pode ser feita como x = t, e através da substituição podemos encontrar:

x = t

y = raizquadrada{9-t²}

Logo, podemos reescrever a equação da distância, alterando x1 e y1 pelas equações paramétricas da reta e x2 e y2 pelo ponto em questão (4,5). Assim teremos:

distancia = raizquadrada{(t-4)²+(raizquadrada{9-t²}-5)²}

O que deves fazer, derivar a equação da distância em relação a t, e encontrar os pontos de máximo e mínimo da distância.

Espero ter ajudado, abraço!

(a)

Primeiro, será calculada a menor distância entre o ponto (4;5) e um ponto da circunferência \(x^2+y^2=9\).

A equação \(x^2+y^2=9\) está no formato \((x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2\), sendo \((x_0;y_0)\) o centro da circunferência e \(r\) o raio da mesma. Portanto, o centro e o raio da circunferência são, respectivamente:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} (x_0;y_0) = (0;0) \\ r=3\end {matrix} \right.\)

A menor distância \(d_{ \mbox{-}}\) entre o ponto (4;5) e um ponto de \(x^2+y^2=9\) é igual à distância \(d_1\) do ponto (4;5) até o centro \((x_0;y_0)\) menos o raio de \(x^2+y^2=9\). Ou seja:

\(\Longrightarrow d_{ \mbox{-}}=d_1-r\)

Portanto, o valor de \(d_{ \mbox{-}}\) é:

\(\Longrightarrow d_{ \mbox{-}}=\sqrt{(4-x_0)^2 + (5-y_0)^2}-3\)

\(\Longrightarrow d_{ \mbox{-}}=\sqrt{(4-0)^2 + (5-0)^2}-3\)

\(\Longrightarrow d_{ \mbox{-}}=\sqrt{16 + 25}-3\)

\(\Longrightarrow d_{ \mbox{-}}=\sqrt{41}-3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ d_{ \mbox{-}}=3,403 $}\)

(b)

Agora, será será calculada a maior distância entre o ponto (4;5) e um ponto da circunferência \(x^2+y^2=9\).

A maior distância \(d_{+}\) entre o ponto (4;5) e um ponto de \(x^2+y^2=9\) é igual à distância \(d_1\) do ponto (4;5) até o centro \((x_0;y_0)\) mais o raio de \(x^2+y^2=9\). Ou seja:

\(\Longrightarrow d_{+}=d_1+r\)

Portanto, o valor de \(d_{ +}\) é:

\(\Longrightarrow d_{ +}=\sqrt{(4-x_0)^2 + (5-y_0)^2}+3\)

\(\Longrightarrow d_{ +}=\sqrt{(4-0)^2 + (5-0)^2}+3\)

\(\Longrightarrow d_{ +}=\sqrt{16+25}+3\)

\(\Longrightarrow d_{ +}=\sqrt{41}+3\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ d_{+}=9,403 $}\)

Mt obrigado, me ajudou muito :DD