Dada a função f(x) = x³ - 12x + 7 admite o ponto de máximo em:

Para encontrar o ponto máximo desta função de 2º grau vamos precisar derivar duas vezes.
f(x) = x³-12x+7
f'(x) = 3x²-12
f''(x) = 6x

Vamos encontrar agora as raízes de f'(x), pois elas indicaram onde fica o vale e a crista de f(x).
3x²-12 = 0 -> x² = 12/3 -> x = raiz de 4
x, = -2. x,,=2

Agora que já sabemos onde está a crista e o vale, vamos utilizar f''(x) para determinar o ponto máximo e mínimo.
f''(x) = 6x
f''(-2) = 6*(-2) = -12
f''(2) = 6*2 = 12

Como f''(2) é >0, ele é o ponto mínimo e f''(-2) é <0, portanto ele é o vale (ponto máximo).

Agora voltamos em f(x) e descobriremos o y para x=-2.
f(x) = x³-12x+7
f(-2) = (-2)³-12*(-2)+7 = 23

Então o ponto máximo da função é (-2, 23).

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Quando lida-se com funções polinomiais \(P(x)=ax^n\) em que \(a\)é um número real, emprega-se a Regra do Tombo para o cálculo da derivada, onde a mesma é \(P'(x)=a\cdot \left(n\cdot x^{n-1} \right)\) Isto é, basta “tombar” o expoente da variável, transformando-o em um multiplicador, e subtrair \(1\)do expoente.

Visto isso, no problema em questão temos que:

\[\eqalign{ f'\left( x \right) = 3 \cdot {x^{3 - 1}} - 12 \cdot 1 \cdot {x^{1 - 1}} \cr = 3{x^2} - 12 \cr \cr f''\left( x \right) = 2 \cdot 3 \cdot {x^{2 - 1}} \cr = 6x \cr \cr f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt {\dfrac{{12}}{3}} = \pm 2 \cr \cr x = + 2 \Rightarrow f''\left( 2 \right) = 12 > 0 \to {\require{text}\text{Ponto de mínimo}} \cr x = - 2 \Rightarrow f''\left( { - 2} \right) = - 12 < 0 \to {\require{text}\text{Ponto de máximo}} }\]

Portanto, o ponto de máximo da função é \(\boxed{x=-2}\)