circuito RLC simples

circuito RLC simples

Em um circuito RLC simples, quando retiramos o resistor, fazemos R = 0 nos calculos. Ja quando retiramos o indutor (capacitor), usamos que XL = 0 (XC = 0). Para XL = 0, temos que L = 0 (estamos considerando que ω 6= 0). No entanto, quando XC = 0, temos que C vai para o infinito! De uma explicaçao fısica simples para a divergˆencia de C na ausencia de capacitor no circuito.

Para resolver esta questão, utilizaremos conceitos das disciplinas de “Equações diferenciais ordinárias” “Cálculo a uma variável” e “Eletromagnetismo”

Em diversas áreas da ciência, como a mecânica, elétrica, química, biologia, entre outras, é empregada largamente na modelagem de fenômenos a equação diferencial de segunda ordem .

Apenas para ilustrar esta versatilidade, faremos uma analogia entre o sistema massa-mola-amortecedor e o circuito RLC de corrente alternada.

A equação que modela o sistema massa-mola-amortecedor livre é : . Já o circuito RLC é modelado por , que também pode ser escrita na forma .

Para o sistema mecânico, m é a massa, é o fator de amortecimento e k é a constante elástica da mola, x a posição instantânea da massa, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da massa.

No circuito RLC, L é a indutância, R a resistência, C a capacitância, q a carga instantânea, e suas taxas de variação de primeira e segunda ordem.

Dividindo a equação da mecânica por m e a da elétrica por L, os fatores que multiplicam o termo x e q respectivamente são as frequências natural ( mecânica) e de ressonância ( elétrica) ao quadrado. Estas frequências são dadas por:

ou

ou

O cálculo da impedância (Z) em um circuito RLC não depende apenas da resistência (R), mas também das reatâncias indutiva e capacitiva ( e ), que por sua vez dependem da frequência angular da corrente ( ), indutância e capacitância:

, onde e

No mundo real, por mais que se melhore o projeto do circuito elétrico, melhorando os materiais dos condutores entre outros elementos, não se conseguem reatâncias ou resistências iguais a zero, o que se tenta ao máximo em determinadas situações é minimizar estes parâmetros.

Em se tratando de limites, a indutância tende a zero quando a reatância indutiva também tende a zero, por outro lado, a capacitância tende ao infinito quando a reatância capacitiva tende a zero. Vale ressaltar que esta é apenas uma abstração matemática, que dá a entender que quanto menor a reatância capacitiva, maior a capacitância, logo maior a capacidade de armazenar energia no campo elétrico do capacitor. Como é impossível uma armazenagem infinita de energia, esta relação serve apenas como parâmetro teórico.

Quando , temos que

Quando , temos que

Vale ressaltar que quando a reatância indutiva é igual a reatância capacitiva, a frequência de oscilação da corrente alternada é igual a frequência de ressonância, fazendo com que a amplitude da corrente I do circuito seja máxima.

A Figura 1 mostra este comportamento, para relações o circuito é mais capacitivo; se o circuito é mais indutivo, se o circuito está em ressonância.

Figura 1 – Relação de frequências versus amplitude de corrente num circuito RLC.

Basicamente, o comportamento divergente da capacitância com a reatância capacitiva se deve ao fato de na expressão da mesma, elas se relacionarem de forma inversamente proporcional. Já na reatância indutiva, ela possui uma relação diretamente proporcional com a indutância.

Fonte: “Equações Diferenciais – Volume 1”

Autores: Dennis G. Zill & Michael R. Cullen

3ª edição

Ed. Pearson

“Fundamentos da Física – Volume 3”

Autores: Halliday & Resnick

9ª edição

Ed. LTC

Para resolver esta questão, utilizaremos conceitos das disciplinas de “Equações diferenciais ordinárias” “Cálculo a uma variável” e “Eletromagnetismo”

Em diversas áreas da ciência, como a mecânica, elétrica, química, biologia, entre outras, é empregada largamente na modelagem de fenômenos a equação diferencial de segunda ordem .

Apenas para ilustrar esta versatilidade, faremos uma analogia entre o sistema massa-mola-amortecedor e o circuito RLC de corrente alternada.

A equação que modela o sistema massa-mola-amortecedor livre é : . Já o circuito RLC é modelado por , que também pode ser escrita na forma .

Para o sistema mecânico, m é a massa, é o fator de amortecimento e k é a constante elástica da mola, x a posição instantânea da massa, a velocidade instantânea e a aceleração instantânea da massa.

No circuito RLC, L é a indutância, R a resistência, C a capacitância, q a carga instantânea, e suas taxas de variação de primeira e segunda ordem.

Dividindo a equação da mecânica por m e a da elétrica por L, os fatores que multiplicam o termo x e q respectivamente são as frequências natural ( mecânica) e de ressonância ( elétrica) ao quadrado. Estas frequências são dadas por:

ou

ou

O cálculo da impedância (Z) em um circuito RLC não depende apenas da resistência (R), mas também das reatâncias indutiva e capacitiva ( e ), que por sua vez dependem da frequência angular da corrente ( ), indutância e capacitância:

, onde e

No mundo real, por mais que se melhore o projeto do circuito elétrico, melhorando os materiais dos condutores entre outros elementos, não se conseguem reatâncias ou resistências iguais a zero, o que se tenta ao máximo em determinadas situações é minimizar estes parâmetros.

Em se tratando de limites, a indutância tende a zero quando a reatância indutiva também tende a zero, por outro lado, a capacitância tende ao infinito quando a reatância capacitiva tende a zero. Vale ressaltar que esta é apenas uma abstração matemática, que dá a entender que quanto menor a reatância capacitiva, maior a capacitância, logo maior a capacidade de armazenar energia no campo elétrico do capacitor. Como é impossível uma armazenagem infinita de energia, esta relação serve apenas como parâmetro teórico.

Quando , temos que

Quando , temos que

Vale ressaltar que quando a reatância indutiva é igual a reatância capacitiva, a frequência de oscilação da corrente alternada é igual a frequência de ressonância, fazendo com que a amplitude da corrente I do circuito seja máxima.

A Figura 1 mostra este comportamento, para relações o circuito é mais capacitivo; se o circuito é mais indutivo, se o circuito está em ressonância.

Figura 1 – Relação de frequências versus amplitude de corrente num circuito RLC.

Basicamente, o comportamento divergente da capacitância com a reatância capacitiva se deve ao fato de na expressão da mesma, elas se relacionarem de forma inversamente proporcional. Já na reatância indutiva, ela possui uma relação diretamente proporcional com a indutância.

Fonte: “Equações Diferenciais – Volume 1”

Autores: Dennis G. Zill & Michael R. Cullen

3ª edição

Ed. Pearson

“Fundamentos da Física – Volume 3”

Autores: Halliday & Resnick

9ª edição

Ed. LTC